Probabilidad geométrica

Los problemas del siguiente tipo, y sus técnicas de solución, se estudiaron por primera vez en el siglo XVIII, y el tema general se conoció como probabilidad geométrica.

• (La aguja de Buffon) ¿Cuál es la probabilidad de que una aguja lanzada al azar sobre un suelo marcado con líneas paralelas igualmente espaciadas cruce una de las líneas?
• ¿Cuál es la longitud media de una cuerda aleatoria de un círculo unitario? (véase la paradoja de Bertrand).
• ¿Cuál es la probabilidad de que tres puntos aleatorios del plano formen un triángulo agudo (y no obtuso)?
• ¿Cuál es el área media de las regiones poligonales que se forman cuando las líneas orientadas al azar se extienden por el plano?

Para el desarrollo matemático véase la monografía concisa de Solomon.

Desde finales del siglo XX, el tema se ha dividido en dos temas con distinto énfasis. La geometría integral surgió del principio de que los modelos de probabilidad matemáticamente naturales son aquellos que son invariantes bajo ciertos grupos de transformación. Este tema hace hincapié en el desarrollo sistemático de fórmulas para calcular los valores esperados asociados a los objetos geométricos derivados de los puntos aleatorios, y puede considerarse en parte como una rama sofisticada del cálculo multivariante. La geometría estocástica hace hincapié en los propios objetos geométricos aleatorios. Por ejemplo: diferentes modelos para líneas aleatorias o para teselaciones aleatorias del plano; conjuntos aleatorios formados haciendo que los puntos de un proceso de Poisson espacial sean (digamos) centros de discos.