Homomorfismo

Varios tipos de homomorfismos tienen un nombre específico, que también se define para los morfismos generales.

IsomorfismoEditar

Un isomorfismo entre estructuras algebraicas del mismo tipo se define comúnmente como un homomorfismo biyectivo.:134 :28

En el contexto más general de la teoría de categorías, un isomorfismo se define como un morfismo que tiene un inverso que también es un morfismo. En el caso específico de las estructuras algebraicas, las dos definiciones son equivalentes, aunque pueden diferir para las estructuras no algebraicas, que tienen un conjunto subyacente.

Más precisamente, si

f : A → B {\displaystyle f:A\to B}

es un (homo)morfismo, tiene un inverso si existe un homomorfismo

g : B → A {pantalla g:B\a A}

tal que

f ∘ g = Id B y g ∘ f = Id A . {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} {{B}} {{texto{y}} {{cuadro}} f={nombre del operador} {{Id}} _{A}.}

Si A {{displaystyle A}}

y B {\displaystyle B}

tienen conjuntos subyacentes, y f : A → B {\displaystyle f:A\to B}

tiene una inversa g {\displaystyle g}

, entonces f {\displaystyle f}

es biyectiva. De hecho, f {\displaystyle f}

es inyectiva, ya que f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)}

implica que x = g ( f ( x ) ) = g ( f ( y ) ) = y {\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}

, y f {\displaystyle f}

es suryente, ya que, para cualquier x {\displaystyle x}

en B {\displaystyle B}

, se tiene que x = f ( g ( x ) ) {\displaystyle x=f(g(x))}

, y x {\displaystyle x}

es la imagen de un elemento de A {\displaystyle A}

.

A la inversa, si f : A → B {\displaystyle f:A\to B}

es un homomorfismo biyectivo entre estructuras algebraicas, sea g : B → A {\displaystyle g:B\a A}

sea el mapa tal que g ( y ) {\displaystyle g(y)}

es el único elemento x {\displaystyle x}

de A {\displaystyle A}

tal que f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y}

. Se tiene f ∘ g = Id B y g ∘ f = Id A , {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} {{B}{texto{}} y {}g\circ f={nombre del operador}{Id}

y sólo queda demostrar que g es un homomorfismo. Si ∗ {\\Ndice el estilo*}

es una operación binaria de la estructura, para cada par x {\displaystyle x}

, y {\displaystyle y}

de elementos de B {\displaystyle B}

, se tiene g ( x ∗ B y ) = g ( f ( g ( x ) ) ∗ B f ( g ( y ) ) = g ( f ( g ( x ) ∗ A g ( y ) ) ) = g ( x ) ∗ A g ( y ) , {\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),

y g {{displaystyle g}}

es, pues, compatible con ∗ . {\displaystyle *.}

Como la prueba es similar para cualquier aridad, esto demuestra que g {\displaystyle g}

es un homomorfismo.

Esta prueba no funciona para estructuras no algebraicas. Por ejemplo, para espacios topológicos, un morfismo es un mapa continuo, y la inversa de un mapa continuo biyectivo no es necesariamente continua. Un isomorfismo de espacios topológicos, llamado homeomorfismo o mapa bicontinuo, es pues un mapa continuo biyectivo, cuya inversa es también continua.

EndomorfismoEditar

Un endomorfismo es un homomorfismo cuyo dominio es igual al codominio, o, más generalmente, un morfismo cuyo origen es igual al destino.:135

Los endomorfismos de una estructura algebraica, o de un objeto de una categoría forman un monoide bajo composición.

Los endomorfismos de un espacio vectorial o de un módulo forman un anillo. En el caso de un espacio vectorial o un módulo libre de dimensión finita, la elección de una base induce un isomorfismo de anillo entre el anillo de endomorfismos y el anillo de matrices cuadradas de la misma dimensión.

AutomorfismoEditar

Un automorfismo es un endomorfismo que también es un isomorfismo.:135

Los automorfismos de una estructura algebraica o de un objeto de una categoría forman un grupo bajo composición, que se llama grupo de automorfismo de la estructura.

Muchos grupos que han recibido un nombre son grupos de automorfismo de alguna estructura algebraica. Por ejemplo, el grupo lineal general GL n ( k ) {\desde el punto de vista del estilo de la operación {GL} _{n}(k)}

es el grupo de automorfismo de un espacio vectorial de dimensión n {\displaystyle n}

sobre un campo k {\displaystyle k}

.

Los grupos de automorfismo de campos fueron introducidos por Évariste Galois para estudiar las raíces de los polinomios, y son la base de la teoría de Galois.

MonomorfismoEditar

Para las estructuras algebraicas, los monomorfismos se definen comúnmente como homomorfismos inyectivos.:134 :29

En el contexto más general de la teoría de categorías, un monomorfismo se define como un morfismo que es cancelable por la izquierda. Esto significa que un (homo)morfismo f : A → B {\displaystyle f:A\to B}

es un monomorfismo si, para cualquier par g {\displaystyle g}

, h {\displaystyle h}

de morfismos de cualquier otro objeto C {\displaystyle C}

a A {\displaystyle A}

, entonces f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h}

implica g = h {\displaystyle g=h}

.

Estas dos definiciones de monomorfismo son equivalentes para todas las estructuras algebraicas comunes. Más concretamente, son equivalentes para los campos, para los que todo homomorfismo es un monomorfismo, y para las variedades del álgebra universal, es decir, las estructuras algebraicas para las que las operaciones y los axiomas (identidades) están definidos sin ninguna restricción (los campos no son una variedad, ya que la inversa multiplicativa está definida como una operación unaria o como una propiedad de la multiplicación, que están, en ambos casos, definidas sólo para los elementos no nulos).

En particular, las dos definiciones de un monomorfismo son equivalentes para conjuntos, magmas, semigrupos, monoides, grupos, anillos, campos, espacios vectoriales y módulos.

Un monomorfismo escindido es un homomorfismo que tiene un inverso a la izquierda y, por tanto, es a su vez un inverso a la derecha de ese otro homomorfismo. Es decir, un homomorfismo f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}.

es un monomorfismo de escisión si existe un homomorfismo g : B → A {\displaystyle g\colon B\to A}

tal que g ∘ f = Id A . {\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}

{{desde el estilo g\circ f=nombre de operador {Id} Un monomorfismo dividido es siempre un monomorfismo, para ambos significados de monomorfismo. Para conjuntos y espacios vectoriales, todo monomorfismo es un monomorfismo partido, pero esta propiedad no se cumple para las estructuras algebraicas más comunes.

Demostración de la equivalencia de las dos definiciones de monomorfismos

Un homomorfismo inyectivo es cancelable por la izquierda: Si f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}

se tiene f ( g ( x ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

para cada x {\displaystyle x}

en C {\displaystyle C}

, la fuente común de g {\displaystyle g}

y h {\displaystyle h}

. Si f {\displaystyle f}

es inyectiva, entonces g ( x ) = h ( x ) {\displaystyle g(x)=h(x)}

, y por tanto g = h {\displaystyle g=h}

. Esta demostración funciona no sólo para estructuras algebraicas, sino también para cualquier categoría cuyos objetos sean conjuntos y las flechas sean mapas entre estos conjuntos. Por ejemplo, un mapa continuo inyectivo es un monomorfismo en la categoría de espacios topológicos.

Para demostrar que, a la inversa, un homomorfismo anulable por la izquierda es inyectivo, es útil considerar un objeto libre sobre x {{desde el punto de vista de x}}

. Dada una variedad de estructuras algebraicas un objeto libre sobre x {\displaystyle x}

es un par formado por una estructura algebraica L {\displaystyle L}

de esta variedad y un elemento x {\displaystyle x}

de L {displaystyle L}

que satisface la siguiente propiedad universal: para toda estructura S {\displaystyle S}

de la variedad, y todo elemento s {\displaystyle s}

de S {\displaystyle S}

, existe un único homomorfismo f : L → S {\displaystyle f:L\a S}

tal que f ( x ) = s {desde el estilo f(x)=s}

. Por ejemplo, para los conjuntos, el objeto libre en x {\displaystyle x}

es simplemente { x } {\displaystyle \{x}}

; para los semigrupos, el objeto libre en x {{displaystyle x}

es { x , x 2 , … , x n , … } que, como semigrupo, es isomorfo al semigrupo aditivo de los enteros positivos; para los monoides, el objeto libre sobre x

es { 1 , x , x 2 , … , x n , … } que, como monoide, es isomorfo al monoide aditivo de los enteros no negativos; para los grupos, el objeto libre sobre x {\displaystyle x}

es el grupo cíclico infinito { … , x – n , … , x – 1 , 1 , x , x 2 , … , x n , … } , {{displaystyle \\\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

que, como grupo, es isomorfo al grupo aditivo de los enteros; para los anillos, el objeto libre sobre x {\displaystyle x}

} es el anillo polinómico Z ; {\displaystyle \mathbb {Z} ;}

para espacios vectoriales o módulos, el objeto libre sobre x {\displaystyle x}

es el espacio vectorial o módulo libre que tiene a x {\displaystyle x}

como base.

Si existe un objeto libre sobre x {\displaystyle x}

, entonces todo homomorfismo cancelable por la izquierda es inyectivo: sea f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}

sea un homomorfismo cancelable por la izquierda, y a {\displaystyle a}

y b {\displaystyle b}

sean dos elementos de A {\displaystyle A}

tales f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)}

. Por definición del objeto libre F {\displaystyle F}

, existen homomorfismos g {\displaystyle g}

y h {\displaystyle h}

de F {\displaystyle F}

a A {\displaystyle A}

tal que g ( x ) = a {\displaystyle g(x)=a}

y h ( x ) = b {\displaystyle h(x)=b}

. Como f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

, se tiene f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}

por la unicidad en la definición de una propiedad universal. Como f {\displaystyle f}

es anulable por la izquierda, se tiene g = h {\displaystyle g=h}

, y por tanto a = b {\displaystyle a=b}

. Por lo tanto, f {\displaystyle f}

es inyectiva.

Existencia de un objeto libre sobre x {\displaystyle x}

para una variedad (véase también Objeto libre § Existencia): Para construir un objeto libre sobre x {\displaystyle x}

, considere el conjunto W {\displaystyle W}

de las fórmulas bien formadas construidas a partir de x {\displaystyle x}

y las operaciones de la estructura. Dos fórmulas de este tipo se dicen equivalentes si se puede pasar de una a otra aplicando los axiomas (identidades de la estructura). Esto define una relación de equivalencia, si las identidades no están sujetas a condiciones, es decir, si se trabaja con una variedad. Entonces las operaciones de la variedad están bien definidas en el conjunto de clases de equivalencia de W

para esta relación. Es sencillo demostrar que el objeto resultante es un objeto libre en W {diseño W}

.

EpimorfismoEditar

En álgebra, los epimorfismos se definen a menudo como homomorfismos sobreyectivos.:134:43 Por otro lado, en teoría de categorías, los epimorfismos se definen como morfismos anulables por la derecha. Esto significa que un (homo)morfismo f : A → B {\displaystyle f:A\to B}

es un epimorfismo si, para cualquier par g {\displaystyle g}

, h {\displaystyle h}

de morfismos de B {\displaystyle B}

a cualquier otro objeto C {\displaystyle C}

, la igualdad g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}

implica g = h {\displaystyle g=h}

.

Un homomorfismo sobreyectivo es siempre anulable por la derecha, pero lo contrario no siempre es cierto para las estructuras algebraicas. Sin embargo, las dos definiciones de epimorfismo son equivalentes para los conjuntos, los espacios vectoriales, los grupos abelianos, los módulos (véase más adelante una prueba) y los grupos. La importancia de estas estructuras en toda la matemática, y especialmente en el álgebra lineal y el álgebra homológica, puede explicar la coexistencia de dos definiciones no equivalentes.

Las estructuras algebraicas para las que existen epimorfismos no subjetivos incluyen semigrupos y anillos. El ejemplo más básico es la inclusión de los enteros en los números racionales, que es un homomorfismo de anillos y de semigrupos multiplicativos. Para ambas estructuras es un monomorfismo y un epimorfismo no subjetivo, pero no un isomorfismo.

Una amplia generalización de este ejemplo es la localización de un anillo por un conjunto multiplicativo. Toda localización es un epimorfismo de anillo, que no es, en general, suryente. Como las localizaciones son fundamentales en el álgebra conmutativa y en la geometría algebraica, esto puede explicar por qué en estas áreas se prefiere generalmente la definición de epimorfismos como homomorfismos anulables a la derecha.

Un epimorfismo escindido es un homomorfismo que tiene un inverso a la derecha y, por tanto, es a su vez un inverso a la izquierda de ese otro homomorfismo. Es decir, un homomorfismo f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}

es un epimorfismo partido si existe un homomorfismo g : B → A {\displaystyle g\colon B\to A}

tal que f ∘ g = Id B . {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}

{{displaystyle f\circ g=\nombre de operador {Id} Un epimorfismo dividido es siempre un epimorfismo, para ambos significados de epimorfismo. Para conjuntos y espacios vectoriales, todo epimorfismo es un epimorfismo partido, pero esta propiedad no se cumple para la mayoría de las estructuras algebraicas comunes.

En resumen, se tiene

epimorfismo partido ⟹ epimorfismo (sobreyectivo) ⟹ epimorfismo (anulable por la derecha) ; {\displaystyle {\text{ epimorfismo partido}}\\aplica {\text{epimorfismo (sobreyectivo)}\aplica {\text{epimorfismo (anulable por la derecha)}};}

la última implicación es una equivalencia para conjuntos, espacios vectoriales, módulos y grupos abelianos; la primera implicación es una equivalencia para conjuntos y espacios vectoriales.

Equivalencia de las dos definiciones de epimorfismo

Deja que f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}

sea un homomorfismo. Queremos demostrar que si no es suryectivo, no es cancelable por la derecha.

En el caso de los conjuntos, sea b {{displaystyle b}

un elemento de B {{displaystyle B}

que no pertenece a f ( A ) {\displaystyle f(A)}

, y definir g , h : B → B {\displaystyle g,h\colon B\to B}

tal que g {pantalla g}

es la función identidad, y que h ( x ) = x {\displaystyle h(x)=x}

para todo x ∈ B , {\displaystyle x\in B,}

excepto que h ( b ) {\displaystyle h(b)}

es cualquier otro elemento de B {\displaystyle B}

. Claramente f {\displaystyle f}

no es cancelable por la derecha, ya que g ≠ h {\displaystyle g\neq h}

y g ∘ f = h ∘ f . {\displaystyle g\circ f=h\circ f.}

En el caso de los espacios vectoriales, los grupos abelianos y los módulos, la prueba se basa en la existencia de cokernels y en el hecho de que los mapas cero son homomorfismos: dejemos que C {\displaystyle C}

sea el cokernel de f {\displaystyle f}

, y g : B → C {\displaystyle g\colon B\to C}

sea el mapa canónico, tal que g ( f ( A ) ) = 0 {\displaystyle g(f(A))=0}

. Sea h : B → C {\displaystyle h\colon B\to C}

es el mapa cero. Si f {\displaystyle f}

no es suryente, C ≠ 0 {\displaystyle C\neq 0}

, y por tanto g ≠ h {\displaystyle g\neq h}

(uno es un mapa cero, mientras que el otro no lo es). Así, f {\displaystyle f}

no es cancelable, ya que g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}

(ambos son el mapa cero de A {\displaystyle A}

a C {\displaystyle C}

).