Homeomorfismo

Espacio topológico

Uno de los conceptos estructurales más básicos en topología es convertir un conjunto X en un espacio topológico especificando una colección de subconjuntos T de X. Tal colección debe satisfacer tres axiomas: (1) el propio conjunto X y el conjunto vacío son miembros de T, (2) la intersección de cualquier número finito de conjuntos en T está en T, y (3) la unión de cualquier colección de conjuntos en T está en T. Los conjuntos en T se llaman conjuntos abiertos y T se llama topología sobre X. Por ejemplo, la recta numérica real se convierte en un espacio topológico cuando su topología se especifica como la colección de todas las posibles uniones de intervalos abiertos -como (-5, 2), (1/2, π), (0, raíz cuadrada de√2), …. (Un proceso análogo produce una topología sobre un espacio métrico). Otros ejemplos de topologías sobre conjuntos se dan puramente en términos de teoría de conjuntos. Por ejemplo, la colección de todos los subconjuntos de un conjunto X se llama topología discreta sobre X, y la colección que consiste sólo en el conjunto vacío y en el propio X forma la topología indiscreta, o trivial, sobre X. Un espacio topológico dado da lugar a otros espacios topológicos relacionados. Por ejemplo, un subconjunto A de un espacio topológico X hereda una topología, llamada topología relativa, de X cuando se considera que los conjuntos abiertos de A son las intersecciones de A con los conjuntos abiertos de X. La enorme variedad de espacios topológicos proporciona una rica fuente de ejemplos para motivar teoremas generales, así como contraejemplos para demostrar conjeturas falsas. Además, la generalidad de los axiomas para un espacio topológico permite a los matemáticos ver muchos tipos de estructuras matemáticas, como las colecciones de funciones en el análisis, como espacios topológicos y, por lo tanto, explicar los fenómenos asociados de nuevas maneras.

Un espacio topológico también puede ser definido por un conjunto alternativo de axiomas que implican conjuntos cerrados, que son complementos de los conjuntos abiertos. En las primeras consideraciones de las ideas topológicas, especialmente para los objetos del espacio euclidiano de n dimensiones, los conjuntos cerrados habían surgido de forma natural en la investigación de la convergencia de las secuencias infinitas (véase series infinitas). A menudo es conveniente o útil asumir axiomas adicionales para una topología con el fin de establecer resultados que se mantienen para una clase significativa de espacios topológicos pero no para todos los espacios topológicos. Uno de estos axiomas requiere que dos puntos distintos pertenezcan a conjuntos abiertos disjuntos. Un espacio topológico que satisface este axioma ha llegado a denominarse espacio de Hausdorff.