Hipótesis del vacío
Hipótesis del vacío, afirmación de la teoría de conjuntos según la cual el conjunto de los números reales (el continuo) es en cierto sentido lo más pequeño que puede ser. En 1873, el matemático alemán Georg Cantor demostró que el continuo es incontable, es decir, que los números reales son un infinito mayor que los números contables, un resultado clave para iniciar la teoría de conjuntos como materia matemática. Además, Cantor desarrolló una forma de clasificar el tamaño de los conjuntos infinitos según el número de sus elementos, o su cardinalidad. (Véase Teoría de conjuntos: Cardinalidad y números transfinitos.) En estos términos, la hipótesis del continuo puede enunciarse como sigue: La cardinalidad del continuo es el menor número cardinal incontable.
En la notación de Cantor, la hipótesis del continuo puede enunciarse mediante la sencilla ecuación 2ℵ0 = ℵ1, donde ℵ0 es el número cardinal de un conjunto infinito contable (como el conjunto de los números naturales), y los números cardinales de «conjuntos bien ordenables» más grandes son ℵ1, ℵ2, …, ℵα, …, indexados por los números ordinales. Se puede demostrar que la cardinalidad del continuo es igual a 2ℵ0; así, la hipótesis del continuo descarta la existencia de un conjunto de tamaño intermedio entre los números naturales y el continuo.
Una afirmación más fuerte es la hipótesis del continuo generalizada (HGC): 2ℵα = ℵα + 1 para cada número ordinal α. El matemático polaco Wacław Sierpiński demostró que con GCH se puede derivar el axioma de elección.
Al igual que con el axioma de elección, el matemático estadounidense de origen austriaco Kurt Gödel demostró en 1939 que, si los demás axiomas estándar de Zermelo-Fraenkel (ZF; véase la 
) son consistentes, entonces no refutan la hipótesis del continuo ni tampoco GCH. Es decir, el resultado de añadir GCH a los otros axiomas sigue siendo consistente. Luego, en 1963, el matemático estadounidense Paul Cohen completó el cuadro mostrando, de nuevo bajo el supuesto de que ZF es consistente, que ZF no produce una prueba de la hipótesis del continuo.
Dado que ZF no prueba ni refuta la hipótesis del continuo, queda la cuestión de si aceptar la hipótesis del continuo basada en un concepto informal de lo que son los conjuntos. La respuesta general en la comunidad matemática ha sido negativa: la hipótesis del continuo es una afirmación limitante en un contexto en el que no se conoce ninguna razón para imponer un límite. En teoría de conjuntos, la operación potencia-conjunto asigna a cada conjunto de cardinalidad ℵα su conjunto de todos los subconjuntos, que tiene cardinalidad 2ℵα. No parece haber ninguna razón para imponer un límite a la variedad de subconjuntos que puede tener un conjunto infinito.
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