Giroide

El giroide es el único miembro empotrado no trivial de la familia de asociación de las superficies P y D de Schwarz. Su ángulo de asociación con respecto a la superficie D es de aproximadamente 38,01°. El giroide es similar al lidinoide. El giroide fue descubierto en 1970 por el científico de la NASA Alan Schoen. Calculó el ángulo de asociación y dio una demostración convincente de imágenes de modelos plásticos intrincados, pero no proporcionó una prueba de incrustación. Schoen señaló que el giroide no contiene ni líneas rectas ni simetrías planas. Karcher dio un tratamiento diferente y más contemporáneo de la superficie en 1989 utilizando la construcción de la superficie conjugada. En 1996 Große-Brauckmann y Wohlgemuth demostraron que está incrustada, y en 1997 Große-Brauckmann proporcionó variantes CMC del giroide e hizo más investigaciones numéricas sobre las fracciones de volumen de los giroscopios mínimo y CMC (curvatura media constante).

El giroide separa el espacio en dos laberintos de pasajes opuestos y congruentes. El giroide tiene el grupo espacial I4132 (nº 214). Los canales atraviesan los laberintos giroscópicos en las direcciones (100) y (111); los pasajes emergen en ángulos de 70,5 grados con respecto a cualquier canal dado a medida que se atraviesa, la dirección en la que lo hacen gira hacia abajo del canal, dando lugar al nombre «giroscópico». Una forma de visualizar la superficie es imaginar los «catenoides cuadrados» de la superficie P (formados por dos cuadrados en planos paralelos, con una cintura casi circular); la rotación sobre los bordes del cuadrado genera la superficie P. En la familia asociada, estos catenoides cuadrados se «abren» (de forma similar a como el catenoide se «abre» a un helicoide) para formar cintas giratorias, para finalmente convertirse en la superficie D de Schwarz. Para un valor del parámetro de la familia asociada, las cintas giratorias se encuentran precisamente en los lugares requeridos para tener una superficie incrustada.

El giroide es la única superficie mínima triplemente periódica incrustada conocida que posee uniones triples y ninguna línea de simetría de reflexión, a diferencia de las cinco superficies mínimas estudiadas por Anderson et al. en 1990.

El giroide se refiere al miembro que está en la familia asociada de la superficie P de Schwarz, pero de hecho el giroide existe en varias familias que preservan varias simetrías de la superficie; una discusión más completa de las familias de estas superficies mínimas aparece en superficies mínimas triplicalmente periódicas.

Curiosamente, al igual que algunas otras superficies mínimas triplemente periódicas, la superficie giroide puede ser aproximada trigonométricamente por una ecuación corta:

sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0 {\displaystyle \sin x\cos y+\sin y\cos z+\sin z\cos x=0}.