Geometría diferencial

Geometría diferencial, rama de las matemáticas que estudia la geometría de las curvas, las superficies y los colectores (los análogos de las superficies de mayor dimensión). La disciplina debe su nombre al uso de ideas y técnicas del cálculo diferencial, aunque el tema moderno a menudo utiliza técnicas algebraicas y puramente geométricas en su lugar. Aunque las definiciones básicas, las notaciones y las descripciones analíticas varían mucho, prevalecen las siguientes cuestiones geométricas: ¿Cómo se mide la curvatura de una curva dentro de una superficie (intrínseca) frente a la del espacio que la rodea (extrínseca)? ¿Cómo se puede medir la curvatura de una superficie? ¿Cuál es el camino más corto dentro de una superficie entre dos puntos de la misma? ¿Cómo se relaciona el camino más corto en una superficie con el concepto de línea recta?

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Si bien las curvas se habían estudiado desde la antigüedad, el descubrimiento del cálculo en el siglo XVII abrió el estudio de las curvas planas más complicadas, como las producidas por el matemático francés René Descartes (1596-1650) con su «compás» (véase Historia de la geometría: geometría cartesiana). En particular, el cálculo integral condujo a soluciones generales de los antiguos problemas de encontrar la longitud de arco de las curvas planas y el área de las figuras planas. Esto, a su vez, abrió el camino a la investigación de curvas y superficies en el espacio, una investigación que fue el inicio de la geometría diferencial.

Algunas de las ideas fundamentales de la geometría diferencial pueden ilustrarse con la traca, una tira en espiral diseñada a menudo por los ingenieros para dar soporte estructural a grandes cilindros metálicos, como las chimeneas. Una traca puede formarse cortando una tira anular (la región entre dos círculos concéntricos) de una lámina de acero plana y luego doblándola en una hélice que gira en espiral alrededor del cilindro, como se ilustra en la figura. ¿Cuál debe ser el radio r del anillo para producir el mejor ajuste? La geometría diferencial proporciona la solución a este problema definiendo una medida precisa para la curvatura de una curva; entonces r puede ajustarse hasta que la curvatura del borde interior del anillo coincida con la curvatura de la hélice.

Queda una pregunta importante: ¿Se puede doblar la tira anular, sin estirarla, de modo que forme una traca alrededor del cilindro? En particular, esto significa que las distancias medidas a lo largo de la superficie (intrínseca) no cambian. Se dice que dos superficies son isométricas si una puede doblarse (o transformarse) en la otra sin cambiar las distancias intrínsecas. (Por ejemplo, como una hoja de papel puede enrollarse en un tubo sin estirarse, la hoja y el tubo son «localmente» isométricos, sólo localmente, porque se crean rutas nuevas, y posiblemente más cortas, al conectar los dos bordes del papel). Por lo tanto, la segunda pregunta se convierte en: ¿Son isométricas la banda anular y la traca? Para responder a esta y otras preguntas similares, la geometría diferencial desarrolló la noción de curvatura de una superficie.