Espacio de Hilbert

Espacio de Hilbert, en matemáticas, un ejemplo de espacio de dimensión infinita que tuvo un gran impacto en el análisis y la topología. El matemático alemán David Hilbert describió por primera vez este espacio en sus trabajos sobre ecuaciones integrales y series de Fourier, que ocuparon su atención durante el periodo 1902-12.

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Los puntos del espacio de Hilbert son secuencias infinitas (x1, x2, x3, …) de números reales que son sumables al cuadrado, es decir, para los que la serie infinita x12 + x22 + x32 + … converge a algún número finito. En analogía directa con el espacio euclidiano de n dimensiones, el espacio de Hilbert es un espacio vectorial que tiene un producto interno natural, o producto punto, que proporciona una función de distancia. Bajo esta función de distancia se convierte en un espacio métrico completo y, por tanto, es un ejemplo de lo que los matemáticos llaman un espacio de producto interno completo.

Poco después de la investigación de Hilbert, el matemático austriaco-alemán Ernst Fischer y el matemático húngaro Frigyes Riesz demostraron que las funciones integrables al cuadrado (funciones tales que la integración del cuadrado de su valor absoluto es finita) también podían considerarse como «puntos» en un espacio de producto interno completo que es equivalente al espacio de Hilbert. En este contexto, el espacio de Hilbert desempeñó un papel en el desarrollo de la mecánica cuántica, y ha seguido siendo una importante herramienta matemática en las matemáticas aplicadas y la física matemática.

En el análisis, el descubrimiento del espacio de Hilbert dio paso al análisis funcional, un nuevo campo en el que los matemáticos estudian las propiedades de espacios lineales bastante generales. Entre estos espacios se encuentran los espacios completos de producto interno, que ahora se denominan espacios de Hilbert, una designación utilizada por primera vez en 1929 por el matemático húngaro-estadounidense John von Neumann para describir estos espacios de forma axiomática abstracta. El espacio de Hilbert también ha sido fuente de ricas ideas en topología. Como espacio métrico, el espacio de Hilbert puede considerarse un espacio topológico lineal de dimensiones infinitas, y en la primera mitad del siglo XX se plantearon importantes cuestiones relacionadas con sus propiedades topológicas. Motivados inicialmente por dichas propiedades de los espacios de Hilbert, los investigadores establecieron un nuevo subcampo de la topología llamado topología de dimensión infinita en los años 60 y 70.