Ecuaciones diferenciales – Valores propios y funciones propias
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Sección 8-2 : Eigenvalores y eigenfunciones
Como hicimos en la sección anterior tenemos que señalar de nuevo que sólo vamos a dar un breve vistazo al tema de los valores propios y eigenfunciones para problemas de valor límite. Hay bastantes ideas que no veremos aquí. La intención de esta sección es simplemente darle una idea del tema y hacer el trabajo suficiente para permitirnos resolver algunas ecuaciones diferenciales parciales básicas en el próximo capítulo.
Ahora, antes de empezar a hablar sobre el tema real de esta sección vamos a recordar un tema de Álgebra Lineal que hemos discutido brevemente anteriormente en estas notas. Para una matriz cuadrada dada, \(A\), si podíamos encontrar valores de \(\lambda \) para los que podíamos encontrar soluciones no nulas, es decir, \(\vec x \ne \vec 0\), a,
entonces llamábamos a \(\lambda \) un valor propio de \(A\) y \(\vec x\) era su correspondiente eigenvector.
Es importante recordar aquí que para que \(\lambda \) sea un valor propio entonces teníamos que ser capaces de encontrar soluciones no nulas a la ecuación.
Entonces, ¿qué tiene que ver esto con los problemas de valor límite? Pues volvamos a la sección anterior y echemos un vistazo al Ejemplo 7 y al Ejemplo 8. En esos dos ejemplos resolvimos BVP homogéneos (¡y eso es importante!) de la forma,
\N5326>En el Ejemplo 7 teníamos \N(\lambda = 4\) y encontramos soluciones no triviales (es decir, no nulas) al BVP. En el Ejemplo 8 utilizamos \(\lambda = 3\) y la única solución fue la solución trivial (es decir, \(y\left( t \right) = 0\)). Por lo tanto, esta BVP homogénea (recordemos que esto también significa que las condiciones de contorno son cero) parece mostrar un comportamiento similar al de la ecuación matricial anterior. Hay valores de \(\lambda \) que darán soluciones no triviales a esta BVP y valores de \(\lambda \) que sólo admitirán la solución trivial.
Entonces, para aquellos valores de \(\lambda \) que den soluciones no triviales llamaremos a \(\lambda \) un valor propio de la BVP y las soluciones no triviales se llamarán funciones propias de la BVP correspondientes al valor propio dado.
Ahora sabemos que para la BVP homogénea dada en \(\eqref{eq:eq1}) \(\lambda = 4\) es un valor propio (con las funciones propias \(y\left( x \right) = {c_2}sin \left( {2x} \right)\) y que \(\lambda = 3\) no es un valor propio.
Eventualmente trataremos de determinar si existen otros valores propios para \(\eqref{eq:eq1}\), sin embargo antes de hacerlo vamos a comentar brevemente por qué es tan importante que la BVP sea homogénea en esta discusión. En el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3 de la sección anterior resolvimos la ecuación diferencial homogénea
\5326>con dos condiciones de contorno no homogéneas diferentes de la forma, \5326>En estos dos ejemplos vimos que simplemente cambiando el valor de \(a\) y/o \(b\) podíamos obtener soluciones no triviales o forzar la ausencia de solución. En la discusión de los valores propios/funciones propias necesitamos que existan soluciones y la única forma de asegurar este comportamiento es exigir que las condiciones de contorno sean también homogéneas. En otras palabras, necesitamos que la BVP sea homogénea.
Hay un último tema que debemos discutir antes de pasar al tema de los valores propios y las funciones propias y esto es más bien una cuestión de notación que nos ayudará con parte del trabajo que tendremos que hacer.
Supongamos que tenemos una ecuación diferencial de segundo orden y que su polinomio característico tiene dos raíces reales y distintas y que son de la forma
\5326>Entonces sabemos que la solución es, \5326>Aunque no hay nada malo en esta solución vamos a hacer una pequeña reescritura de esto. Empezaremos por dividir los términos de la siguiente manera, \NAhora sumaremos/restaremos los siguientes términos (nótese que estamos «mezclando» los \N({c_i}) y los \N(\Npm \N, \Nalfa \N) en los nuevos términos) para obtener, \\N –
A continuación, reordenar los términos un poco,
\N –
Por último, las cantidades en el factor de paréntesis y vamos a mover la ubicación de la fracción también. Haciendo esto, así como el cambio de nombre de las nuevas constantes obtenemos,
\5326>Todo este trabajo probablemente parece muy misterioso e innecesario. Sin embargo, realmente había una razón para ello. De hecho, puede que ya hayas visto la razón, al menos en parte. Las dos funciones «nuevas» que tenemos en nuestra solución son en realidad dos de las funciones hiperbólicas. En particular, \N
Así que otra forma de escribir la solución de una ecuación diferencial de segundo orden cuyo polinomio característico tiene dos raíces reales y distintas de la forma \N({r_1} = \Nalfa ,\N, {r_2} = – \N, \Nalfa \N) es,
\NTener la solución de esta forma para algunos (en realidad la mayoría) de los problemas que vamos a ver nos hará la vida mucho más fácil. Las funciones hiperbólicas tienen algunas propiedades muy buenas que podemos (y vamos a) aprovechar.
En primer lugar, ya que las necesitaremos más adelante, las derivadas son,
A continuación vamos a echar un vistazo rápido a las gráficas de estas funciones.
Nótese que \(\cosh \left( 0 \right) = 1\) y \(\sinh \left( 0 \right) = 0\). Dado que a menudo trabajaremos con condiciones de contorno en \(x = 0\) estas serán evaluaciones útiles.
A continuación, y posiblemente más importante, observemos que \cosh \left( x \right) > 0\) para todo \\\Nx) y así el coseno hiperbólico nunca será cero. Del mismo modo, podemos ver que \(\sinh \left( x \right) = 0\) sólo si \(x = 0\). Vamos a utilizar estos dos hechos en algunos de nuestros trabajos por lo que no debemos olvidarlos.
Bien, ahora que tenemos todo eso fuera del camino vamos a trabajar un ejemplo para ver cómo vamos a encontrar los valores propios / funciones propias para un BVP.
Empezamos esta sección viendo esta BVP y ya conocemos un valor propio (\(\lambda = 4\)) y conocemos un valor de \(\lambda \) que no es un valor propio (\(\lambda = 3\)). A medida que avanzamos en el trabajo aquí tenemos que recordar que vamos a obtener un valor propio para un valor particular de \(\lambda \) si obtenemos soluciones no triviales de la BVP para ese valor particular de \(\lambda \).
Con el fin de saber que hemos encontrado todos los valores propios no podemos empezar a probar al azar valores de \(\lambda \) para ver si obtenemos soluciones no triviales o no. Por suerte, hay una manera de hacer esto que no es demasiado malo y nos dará todos los valores propios / funciones propias. Sin embargo, vamos a tener que hacer algunos casos. Los tres casos que tendremos que mirar son : \ (\lambda > 0\), \ (\lambda = 0\), y \ (\lambda < 0\). Cada uno de estos casos da una forma específica de la solución de la BVP a la que luego podemos aplicar las condiciones de contorno para ver si vamos a obtener soluciones no triviales o no. Así que vamos a empezar con los casos.
(\\lambda > 0} \N-)
En este caso el polinomio característico que obtenemos de la ecuación diferencial es,
\\NEn este caso como sabemos que \(\lambda > 0\) estas raíces son complejas y podemos escribirlas en su lugar como, \N
La solución general de la ecuación diferencial es entonces,
\NAplicando la primera condición de contorno nos da, \5326>Entonces, teniendo en cuenta esto y aplicando la segunda condición de contorno obtenemos, \5326>Esto significa que tenemos que tener una de las siguientes, \5326>Sin embargo, recordemos que queremos soluciones no triviales y si tenemos la primera posibilidad obtendremos la solución trivial para todos los valores de \(\lambda > 0\). Por lo tanto, vamos a suponer que \({c_2} \ne 0\). Esto quiere decir que tenemos, \Nque
En otras palabras, aprovechando que sabemos donde el seno es cero podemos llegar a la segunda ecuación. También hay que tener en cuenta que como estamos suponiendo que \(\lambda > 0\) sabemos que \(2\pi \sqrt \lambda > 0\)y por tanto \(n\) sólo puede ser un entero positivo para este caso.
Ahora sólo tenemos que resolver esto para \(\lambda \) y tendremos todos los valores propios positivos para esta BVP.
Los valores propios positivos son entonces,
\ 5326>y las funciones propias que corresponden a estos valores propios son, \ 5326>Nota que hemos puesto un subíndice \(n\) en los valores propios y las funciones propias para denotar el hecho de que hay uno para cada uno de los valores dados de \(n\). También hay que tener en cuenta que hemos dejado de lado el \({c_2}) en las funciones propias. Para las funciones propias sólo nos interesa la función en sí misma y no la constante que la precede, por lo que generalmente la omitimos.
Pasemos ahora al segundo caso.
(\\\Nsubrayado {\lambda = 0} \N)
En este caso la BVP se convierte en,
e integrando la ecuación diferencial un par de veces nos da la solución general,
Aplicando la primera condición de contorno da,
\5326>Aplicando la segunda condición de contorno, así como los resultados de la primera condición de contorno da, \5326>Aquí, a diferencia del primer caso, no tenemos la opción de cómo hacer este cero. Sólo será cero si \({c_2} = 0\).
Por tanto, para esta BVP (y eso es importante), si tenemos \(\lambda = 0\) la única solución es la solución trivial y por tanto \(\lambda = 0\) no puede ser un valor propio para esta BVP.
Ahora veamos el último caso.
(\lambda < 0} \b)
En este caso la ecuación característica y sus raíces son las mismas que en el primer caso. Por lo tanto, sabemos que,
\\Nsin embargo, debido a que estamos asumiendo \N(\lambda < 0\) aquí estas son ahora dos raíces reales distintas y por lo tanto utilizando nuestro trabajo anterior para este tipo de raíces reales y distintas sabemos que la solución general será, \Nsin embargo, sabemos que podríamos haber utilizado la forma exponencial de la solución aquí, pero nuestro trabajo será significativamente más fácil si utilizamos la forma hiperbólica de la solución aquí.
Ahora, aplicando la primera condición de contorno da,
Aplicando la segunda condición de contorno da,
Debido a que estamos suponiendo que \(\lambda < 0\) sabemos que \(2\pi \sqrt { – \lambda } \ne 0\) y por lo tanto también sabemos que \(\sinh \left( {2\pi \sqrt { – \lambda } \right) \ne 0\). Por tanto, al igual que en el segundo caso, debemos tener \({c_2} = 0\).
Entonces, para esta BVP (de nuevo esto es importante), si tenemos \(\lambda < 0\) sólo obtenemos la solución trivial y por tanto no hay valores propios negativos.
En resumen, entonces, tendremos los siguientes valores propios/funciones propias para esta BVP.
\N-
Veamos otro ejemplo con condiciones de contorno ligeramente diferentes.
Aquí vamos a trabajar con condiciones de contorno derivadas. El trabajo es más o menos idéntico al ejemplo anterior, sin embargo, por lo que no vamos a poner en tanto detalle aquí. Tendremos que ir a través de los tres casos al igual que el ejemplo anterior así que vamos a empezar en eso.
(\\lambda > 0} \t)
La solución general de la ecuación diferencial es idéntica a la del ejemplo anterior y así tenemos,
\NAplicar la primera condición de contorno nos da, \NRecordemos que estamos asumiendo que \N(\lambda > 0\) aquí y por tanto esto sólo será cero si \N({c_2} = 0\). Ahora, la segunda condición de contorno nos da, \
Recordemos que no queremos soluciones triviales y que \(\lambda > 0\) por lo que sólo obtendremos solución no trivial si requerimos que,
\
Resolviendo para \(\lambda \) y vemos que obtenemos exactamente los mismos valores propios positivos para esta BVP que obtuvimos en el ejemplo anterior.
Las funciones propias que corresponden a estos valores propios sin embargo son,
Así que, para esta BVP obtenemos cosenos para las funciones propias correspondientes a los valores propios positivos.
Ahora el segundo caso.
(\\\Nsubrayado {\lambda = 0} \N)
La solución general es,
\NAplicando la primera condición de contorno se obtiene, \NSi utilizamos esto la solución general es entonces, \NNNNNNNNNNNNNNNTenemos que satisfacer trivialmente la segunda condición de contorno, \5326>Por lo tanto, a diferencia del primer ejemplo, \(\lambda = 0\) es un valor propio para este BVP y las funciones propias correspondientes a este valor propio es, \5326>De nuevo, tenga en cuenta que hemos dejado la constante arbitraria para las funciones propias.
Por último vamos a ocuparnos del tercer caso.
(\\\Nsubrayado {\lambda < 0} \N)
La solución general aquí es,
Aplicando la primera condición de contorno da,
Aplicando la segunda condición de contorno da,
Como en el ejemplo anterior sabemos de nuevo que \(2\pi \sqrt { – \lambda } \ne 0\) y por tanto \(\sinh \left( {2\pi \sqrt { – \lambda } \right) \ne 0\). Por lo tanto, debemos tener \({c_1} = 0\).
Así que, para esta BVP volvemos a no tener valores propios negativos.
En resumen, entonces tendremos los siguientes valores propios/funciones propias para esta BVP.
Nótese también que en realidad podemos combinarlas si permitimos que la lista de \(n\) para la primera comience en cero en lugar de uno. Esto no suele ocurrir, pero cuando ocurra lo aprovecharemos. Así que la lista «oficial» de los valores propios/funciones propias para esta BVP es,
\5412>
Así que, en los dos ejemplos anteriores vimos que generalmente necesitamos considerar diferentes casos para \(\lambda \) ya que diferentes valores a menudo conducirán a diferentes soluciones generales. No te encierres demasiado en los casos que hicimos aquí. La mayoría de las veces vamos a resolver esta ecuación diferencial en particular y por lo tanto será tentador asumir que estos son siempre los casos que vamos a ver, pero hay BVP’s que requerirán otros / diferentes casos.
También, como vimos en los dos ejemplos a veces uno o más de los casos no dará ningún valor propio. Esto sucederá a menudo, pero de nuevo no debemos leer nada en el hecho de que no tuvimos valores propios negativos para cualquiera de estos dos BVP. Hay BVP’s que tendrán valores propios negativos.
Veamos otro ejemplo con un conjunto muy diferente de condiciones de contorno. Estas no son las condiciones de contorno tradicionales que hemos estado viendo hasta este punto, pero veremos en el próximo capítulo cómo pueden surgir de ciertos problemas físicos.
En este ejemplo no vamos a especificar realmente la solución o su derivada en las fronteras. En su lugar, simplemente especificaremos que la solución debe ser la misma en las dos fronteras y la derivada de la solución también debe ser la misma en las dos fronteras. Además, este tipo de condición de contorno será típicamente en un intervalo de la forma en lugar de como hemos estado trabajando hasta este punto.
Como se mencionó anteriormente este tipo de condiciones de contorno surgen muy naturalmente en ciertos problemas físicos y lo veremos en el próximo capítulo.
Como en los dos ejemplos anteriores todavía tenemos los tres casos estándar para ver.
(\\lambda > 0}
La solución general para este caso es,
Aplicando la primera condición de contorno y utilizando el hecho de que el coseno es una función par (es decir\(\cos \left( { – x} \right) = \cos \left( x \right)\)) y que el seno es una función impar (es decir, \sin \left( { – x} \right) = – \sin \left( x \right)\). nos da,
\5326>Esta vez, a diferencia de los dos ejemplos anteriores esto no nos dice realmente nada. Podríamos tener \a(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\) pero también es completamente posible, en este punto del problema de todos modos, que tengamos \a({c_2} = 0\) también.
Entonces, sigamos adelante y apliquemos la segunda condición de contorno y veamos si obtenemos algo de eso.
Entonces, obtenemos algo muy similar a lo que obtuvimos después de aplicar la primera condición de contorno. Como estamos suponiendo que \(\lambda > 0\) esto nos dice que o bien \(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\) o bien \({c_1} = 0\).
Nótese sin embargo que si \(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) \ne 0\) entonces tendremos que \({c_1} = {c_2} = 0\) y obtendremos la solución trivial. Por lo tanto, tenemos que requerir que \(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\) y así, al igual que hemos hecho para los dos ejemplos anteriores ahora podemos obtener los valores propios,
\
Recordando que (\lambda > 0\) y podemos ver que tenemos que empezar la lista de posibles \(n\) en uno en lugar de cero.
Así que, ahora sabemos los valores propios para este caso, pero ¿qué pasa con las funciones propias. La solución para un valor propio dado es,
y no tenemos ninguna razón para creer que cualquiera de las dos constantes son cero o no cero para el caso. En casos como éste obtenemos dos conjuntos de funciones propias, uno correspondiente a cada constante. Los dos conjuntos de funciones propias para este caso son,
Ahora el segundo caso.
(\\underline {\lambda = 0} \)
La solución general es,
\lambda
Aplicando la primera condición de contorno se obtiene,
\lambda
Usando esto la solución general es entonces,
\lambda
y nótese que esto satisfará trivialmente la segunda condición de contorno tal y como vimos en el segundo ejemplo anterior. Por lo tanto, volvemos a tener \ (\lambda = 0\) como un valor propio para este BVP y las funciones propias correspondientes a este valor propio es,
\5326>Finalmente vamos a cuidar el tercer caso.
(\\\Nsubrayado {\lambda < 0} \N)
La solución general aquí es,
Aplicando la primera condición de contorno y utilizando el hecho de que el coseno hiperbólico es par y el seno hiperbólico es impar da,
\5326>Ahora, en este caso estamos suponiendo que \(\lambda < 0\) y por lo tanto sabemos que \(\pi \sqrt { – \lambda } \ne 0\) que a su vez nos dice que \(\sinh \left( {\pi \sqrt { – \lambda } \right) \ne 0\). Por lo tanto, debemos tener \({c_2} = 0\).
Apliquemos ahora la segunda condición de contorno para obtener,
Por nuestra suposición sobre \(\lambda \) de nuevo no tenemos otra opción aquí que tener \({c_1} = 0\).
Por lo tanto, en este caso la única solución es la solución trivial y por lo tanto, para este BVP de nuevo no tenemos valores propios negativos.
En resumen, entonces, tendremos los siguientes valores propios/funciones propias para esta BVP.
Nótese que hemos reconocido que para \(\lambda > 0\) teníamos dos conjuntos de funciones propias al enumerarlos cada uno por separado. Además, podemos combinar de nuevo los dos últimos en un conjunto de valores propios y funciones propias. Hacerlo da el siguiente conjunto de valores propios y funciones propias.
Una vez más, tenemos un ejemplo sin valores propios negativos. No podemos dejar de recalcar que esto es más una función de la ecuación diferencial con la que estamos trabajando que otra cosa y habrá ejemplos en los que podemos obtener valores propios negativos.
Ahora, hasta este punto sólo hemos trabajado con una ecuación diferencial, así que vamos a trabajar un ejemplo con una ecuación diferencial diferente sólo para asegurarse de que no nos quedamos demasiado encerrados en esta ecuación diferencial.
Antes de trabajar este ejemplo vamos a notar que todavía vamos a trabajar la gran mayoría de nuestros ejemplos con la ecuación diferencial que hemos estado utilizando hasta este punto. Estamos trabajando con esta otra ecuación diferencial sólo para asegurarse de que no se bloquea demasiado en el uso de una sola ecuación diferencial.
Esta es una ecuación diferencial de Euler y por lo tanto sabemos que tendremos que encontrar las raíces de la siguiente cuadrática.
Las raíces de esta cuadrática son,
Ahora, vamos a tener de nuevo algunos casos para trabajar aquí, sin embargo no serán los mismos que los ejemplos anteriores. La solución dependerá de si las raíces son reales distintas, dobles o complejas, y estos casos dependerán del signo/valor de \(1 – \lambda \). Así pues, vamos a repasar los casos.
(\lambda {1 – \lambda < 0,\,\lambda > 1} \t)
En este caso las raíces serán complejas y tendremos que escribirlas de la siguiente manera para escribir la solución.
\N-Escribiendo las raíces de esta manera sabemos que \(\lambda – 1 > 0\) y por tanto \(\sqrt {\lambda – 1} \) es ahora un número real, que necesitamos para escribir la siguiente solución, \N-Aplicando la primera condición de contorno nos da, \ 5326>La segunda condición de contorno nos da, \ 5326>Con el fin de evitar la solución trivial para este caso vamos a requerir, \ 5326>Esto es mucho más complicado de una condición que hemos visto hasta este punto, pero aparte de eso hacemos lo mismo. Por lo tanto, la resolución de \\lambda \) nos da el siguiente conjunto de valores propios para este caso. \lambda
Nota que tenemos que empezar la lista de \lambda en uno y no en cero para asegurarse de que tenemos \lambda > 1\lambda) como estamos asumiendo para este caso.
Las funciones propias que corresponden a estos valores propios son,
Ahora el segundo caso.
(\\\Nsubrayado {1 – \lambda = 0,\,\,\lambda = 1} \N)
En este caso obtenemos una raíz doble de \N({r_{,1,2}} = – 1\N) y por tanto la solución es,
\NAplicando la primera condición de contorno se obtiene, \\NLa segunda condición de contorno da, \N5326>Por tanto, sólo tenemos la solución trivial para este caso y así \N(\lambda = 1\) no es un valor propio.
Vamos a ocuparnos ahora del tercer (y último) caso.
(\\\Nsubrayado {1 – \lambda > 0,\,\lambda < 1} \N)
Este caso tendrá dos raíces reales distintas y la solución es,
Aplicando la primera condición de contorno se obtiene,
Usando esto nuestra solución pasa a ser,
\5326>Aplicando la segunda condición de contorno da, \5326>Ahora, porque sabemos que \(\lambda \ne 1\) para este caso los exponentes en los dos términos en el paréntesis no son los mismos y por lo tanto el término en el paréntesis no es el cero. Esto significa que sólo podemos tener, \N5326> y por tanto en este caso sólo tenemos la solución trivial y no hay valores propios para los que \Nlambda < 1\.
Los únicos valores propios para esta BVP provienen entonces del primer caso.
Así pues, ahora hemos trabajado un ejemplo utilizando una ecuación diferencial distinta a la «estándar» que hemos estado utilizando hasta ahora. Sin embargo, como hemos visto en el trabajo, el proceso básico era prácticamente el mismo. Determinamos que había un número de casos (tres aquí, pero no siempre serán tres) que daban soluciones diferentes. Examinamos cada caso para determinar si eran posibles soluciones no triviales y, en caso afirmativo, encontramos los valores propios y las funciones propias correspondientes a ese caso.
Necesitamos trabajar un último ejemplo en esta sección antes de dejar este apartado para algunos temas nuevos. Los cuatro ejemplos que hemos trabajado hasta este punto eran todos bastante sencillos (siendo lo de sencillos algo relativo, por supuesto…), sin embargo no queremos irnos sin reconocer que muchos problemas de valores propios/funciones propias son tan fáciles.
En muchos ejemplos ni siquiera es posible obtener una lista completa de todos los valores propios posibles para una BVP. A menudo las ecuaciones que necesitamos resolver para obtener los valores propios son difíciles, si no imposibles, de resolver exactamente. Por lo tanto, vamos a echar un vistazo a un ejemplo como este para ver qué tipo de cosas se pueden hacer para, al menos, tener una idea de cómo son los valores propios en este tipo de casos.
Las condiciones de contorno para este BVP son bastante diferentes de las que hemos trabajado hasta ahora. Sin embargo, el proceso básico es el mismo. Así que vamos a empezar con el primer caso.
(\\\lambda > 0}
La solución general de la ecuación diferencial es idéntica a la de los primeros ejemplos y así tenemos,
Aplicando la primera condición de contorno nos da,
La segunda condición de contorno nos da,
\\N- Así pues, si dejamos que \N({c_2} = 0\N-) obtendremos la solución trivial y por tanto para satisfacer esta condición de contorno tendremos que exigir en su lugar que, \N-
Ahora bien, esta ecuación tiene soluciones pero tendremos que utilizar algunas técnicas numéricas para obtenerlas. Para ver lo que está pasando aquí vamos a graficar \tan \left( {\sqrt \lambda } \right)\n y \ntra – \sqrt \lambda \n en la misma gráfica. Aquí está ese gráfico y tenga en cuenta que el eje horizontal es realmente valores de \(\sqrt \lambda \) ya que eso hará las cosas un poco más fácil de ver y relacionar con los valores que estamos familiarizados con.
Así pues, los valores propios para este caso se producirán donde se crucen las dos curvas. Hemos mostrado los cinco primeros en el gráfico y, de nuevo, lo que se muestra en el gráfico es realmente la raíz cuadrada del valor propio real, como hemos observado.
Lo interesante a tener en cuenta aquí es que cuanto más lejos en el gráfico, más se acercan los valores propios a las asíntotas de la tangente y, por lo tanto, vamos a tomar ventaja de eso y decir que para lo suficientemente grande \(n\) podemos aproximar los valores propios con las ubicaciones (muy conocidas) de las asíntotas de la tangente.
Cómo de grande sea el valor de \(n\) antes de empezar a usar la aproximación dependerá de la precisión que queramos, pero como conocemos la localización de las asíntotas y a medida que aumenta \(n\) la precisión de la aproximación aumentará por lo que será bastante fácil de comprobar para una precisión dada.
Para los fines de este ejemplo hallamos los cinco primeros numéricamente y luego usaremos la aproximación de los restantes valores propios. Aquí están esos valores/aproximaciones.
El número entre paréntesis después de los cinco primeros es el valor aproximado de la asíntota. Como podemos ver están un poco desviados, pero para cuando llegamos a \ (n = 5\) el error en la aproximación es de 0,9862%. Así que menos del 1% de error en el momento en que lleguemos a \(n = 5\) y sólo mejorará para el valor más grande de \(n\).
Las funciones propias para este caso son,
donde los valores de \({\lambda _\}}) se dan arriba.
Así que, ahora que todo ese trabajo está fuera del camino vamos a echar un vistazo al segundo caso.
(\\\Nsubrayado {\lambda = 0} \N)
La solución general es,
\NAplicando la primera condición de contorno se obtiene, \N
Usando esto la solución general es entonces,
\5326>Aplicando la segunda condición de contorno a esto da, \5326>Por lo tanto, para este caso obtenemos sólo la solución trivial y por lo tanto \(\lambda = 0\) no es un valor propio. Nótese, sin embargo, que si la segunda condición de contorno hubiera sido \(y’\left( 1 \right) – y\left( 1 \right) = 0\) entonces \(\lambda = 0\) habría sido un valor propio (con las funciones propias \(y\left( x \right) = x\)) y, por tanto, de nuevo tenemos que tener cuidado con leer demasiado en nuestro trabajo aquí.
Por último, vamos a ocuparnos del tercer caso.
(\\\Nsubrayado {\lambda < 0} \N)
La solución general aquí es,
\NAplicando la primera condición de contorno da, \N
Usando esto la solución general pasa a ser,
Ahora, por suposición sabemos que \(\lambda < 0\) y así \(\sqrt { – \lambda } > 0\). Esto a su vez nos dice que \(\sinh \left( {\sqrt { – \lambda } } \right) > 0\) y sabemos que \(\cosh \left( x \right) > 0\) para todo \(x\). Por lo tanto,
\\Ny así debemos tener \N({c_2} = 0\N) y una vez más en este tercer caso obtenemos la solución trivial y así esta BVP no tendrá valores propios negativos.
En resumen, los únicos valores propios para este BVP vienen de asumir que \(\lambda > 0\) y se dan arriba.
Así, hemos trabajado varios ejemplos de valores propios/funciones propias en esta sección. Antes de dejar esta sección tenemos que señalar una vez más que hay una gran variedad de problemas diferentes que podemos trabajar aquí y realmente sólo hemos mostrado un puñado de ejemplos y así que por favor no salir de esta sección creyendo que hemos mostrado todo.
El propósito de esta sección es para prepararnos para los tipos de problemas que vamos a ver en el próximo capítulo. Además, en el próximo capítulo nos limitaremos de nuevo a algunos problemas bastante básicos y sencillos para ilustrar uno de los métodos más comunes para resolver ecuaciones diferenciales parciales.
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