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Coordenadas baricéntricas

Al final de la discusión sobre el Teorema de Ceva, llegamos a la conclusión de que, para cualquier punto K dentro de ΔABC, existen tres masas wA, wB y wC tales que, si se colocan en los vértices correspondientes del triángulo, su centro de gravedad (baricentro) coincide con el punto K. August Ferdinand Moebius (1790-1868) definió (1827) wA, wB y wC como las coordenadas baricéntricas de K. (Es posible generalizar y considerar también masas negativas para puntos fuera del triángulo. Esto no es necesario para mis propósitos). Tal como están definidas, las coordenadas baricéntricas no son únicas. Las masas kwA, kwB y kwC tienen exactamente el mismo baricentro para cualquier k > 0. Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas son una forma de coordenadas homogéneas generales que se utilizan en muchas ramas de las matemáticas (e incluso en gráficos por ordenador). Con una condición adicional

(*) wA + wB + wC = 1

las coordenadas baricéntricas se definen de forma única para cada punto dentro del triángulo. (Las coordenadas baricéntricas que satisfacen (*) se conocen como coordenadas areales porque, suponiendo que el área de ΔABC es 1, los pesos w son iguales a las áreas de los triángulos KBC, KAC y KAB). Como el centro de gravedad de dos puntos cualesquiera se encuentra en el segmento de unión, wA = 0 para los puntos de BC, wB = 0 para los puntos de AC, y wC = 0 en AB. Los vértices A,B,C tienen las coordenadas (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), respectivamente.

La forma habitual de definir el baricentro de tres puntos con masas dadas (llamémosles material) es situar primero la suma de masas de dos puntos cualesquiera en su baricentro. Ahora se repite la misma operación (unidimensional) emparejando el nuevo y el tercer punto restante. (El argumento se formaliza dentro de la geometría afín. Prefiero mantener la discusión intuitiva). Suponiendo (*), si wA se mantiene fijo, también lo será la suma wB + wC. Se deduce entonces que para dos posibles posiciones D y D’ del baricentro de B y C, tenemos DK/KA = wA/(wB + wC) = D’K’/K’A. Por lo tanto, KK’ es paralelo a BC. En otras palabras, la ecuación wA = const describe las líneas paralelas a BC. Como ya hemos señalado, la ecuación de BC es wA = 0. Una relación similar existe entre wB y AC y wC y AB.

Si Mb y Mc son puntos medios de AC y AB, respectivamente, entonces la ecuación de MbMc es wA = 1/2. Del mismo modo, MaMc = {(wA, wB, wC): wB = 1/2} y MaMb = {(wA, wB, wC): wC = 1/2}.

Veamos el diagrama de la derecha. En el triángulo azul, las tres coordenadas son menores que 1/2. Por lo tanto, el primer dígito de su representación binaria es cero. En los triángulos rojos, dos coordenadas son menores que 1/4, mientras que la tercera está entre 1/2 y 3/4. Por lo tanto, en los triángulos rojos, las tres coordenadas tienen su segundo dígito binario en cero. Esto conduce al procedimiento de eliminación del trema para construir la junta de Sierpinski y proporciona una pista para su Descripción en las coordenadas baricéntricas.

Las coordenadas baricéntricas surgen naturalmente siempre que las cantidades variables tienen una suma constante. El problema de los tres vasos, en el que estamos vertiendo agua de un vaso a otro bajo la suposición irreal de que en el proceso no se va a derramar ninguna gota de agua, es un ejemplo destacado. El problema ilustra muy bien el concepto de coordenadas baricéntricas.

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