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In der Mathematik kennt jedes Lagrangesystem im Allgemeinen Eichtypsymmetrien, auch wenn sie trivial sein können. In der theoretischen Physik ist der Begriff der Eichsymmetrien in Abhängigkeit von Parameterfunktionen ein Eckpfeiler der modernen Feldtheorie.
Eine Eichsymmetrie einer Lagrange L {\displaystyle L} 
ist definiert als ein Differentialoperator auf einem Vektorbündel E {\displaystyle E} 
, der seine Werte im linearen Raum der (Variations- oder exakten) Symmetrien von L {\displaystyle L} . Daher ist eine Eichsymmetrie von L {\displaystyle L} abhängig von Abschnitten von E {\displaystyle E} und deren partiellen Ableitungen ab. Dies ist zum Beispiel der Fall bei den Eichsymmetrien in der klassischen Feldtheorie. Die Yang-Mills-Eichtheorie und die Eichtheorie der Gravitation sind Beispiele für klassische Feldtheorien mit Eichsymmetrien.
Eichsymmetrien besitzen die folgenden zwei Besonderheiten.
- Da es sich um Lagrangsymmetrien handelt, erfüllen Eichsymmetrien einer Lagrange zwar den ersten Noether-Satz, aber der entsprechende Erhaltungsstrom J μ {\displaystyle J^{\mu }}
nimmt eine bestimmte Superpotentialform J μ = W μ + d ν U ν μ {\displaystyle J^{\mu }=W^{\mu }+d_{\nu }U^{\nu \mu }} 
wobei der erste Term W μ {\displaystyle W^{\mu }} 
auf Lösungen der Euler-Lagrange-Gleichungen verschwindet und der zweite ein Randterm ist, wobei U ν μ {\displaystyle U^{\nu \mu }} 
ein Superpotential genannt wird.
- Gemäß dem zweiten Noether-Theorem gibt es eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den Eichsymmetrien eines Lagrange-Operators und den Noether-Identitäten, denen der Euler-Lagrange-Operator genügt. Folglich charakterisieren Eichsymmetrien die Entartung eines Lagrangeschen Systems.
Man beachte, dass in der Quantenfeldtheorie ein erzeugendes Funktional nicht invariant unter Eichtransformationen ist, und dass Eichtransformationen durch BRST-Symmetrien ersetzt werden, die von Geistern abhängen und sowohl auf Felder als auch auf Geister wirken.
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