Differentialgeometrie

Differentialgeometrie, Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Geometrie von Kurven, Flächen und Mannigfaltigkeiten (den höherdimensionalen Analoga von Flächen) beschäftigt. Die Disziplin verdankt ihren Namen der Verwendung von Ideen und Techniken aus der Differentialrechnung, obwohl das moderne Fach oft stattdessen algebraische und rein geometrische Techniken verwendet. Obwohl die grundlegenden Definitionen, Notationen und analytischen Beschreibungen stark variieren, sind die folgenden geometrischen Fragen vorherrschend: Wie misst man die Krümmung einer Kurve innerhalb einer Fläche (intrinsisch) im Vergleich zu der des umgebenden Raums (extrinsisch)? Wie kann die Krümmung einer Fläche gemessen werden? Was ist der kürzeste Weg innerhalb einer Fläche zwischen zwei Punkten auf der Fläche? Wie hängt der kürzeste Weg auf einer Fläche mit dem Konzept der Geraden zusammen?

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Während Kurven schon seit der Antike untersucht wurden, eröffnete die Entdeckung der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert die Möglichkeit, kompliziertere ebene Kurven zu untersuchen – wie die, die der französische Mathematiker René Descartes (1596-1650) mit seinem „Zirkel“ erzeugte (siehe Geschichte der Geometrie: Kartesische Geometrie). Insbesondere die Integralrechnung führte zu allgemeinen Lösungen für die alten Probleme der Bestimmung der Bogenlänge ebener Kurven und des Flächeninhalts ebener Figuren. Dies wiederum eröffnete die Möglichkeit, Kurven und Flächen im Raum zu untersuchen – eine Untersuchung, die den Beginn der Differentialgeometrie darstellte.

Einige der grundlegenden Ideen der Differentialgeometrie lassen sich am Beispiel eines spiralförmigen Streifens veranschaulichen, der häufig von Ingenieuren entworfen wird, um großen Metallzylindern wie Schornsteinen strukturellen Halt zu geben. Eine Strebe kann durch Schneiden eines ringförmigen Streifens (der Bereich zwischen zwei konzentrischen Kreisen) aus einem flachen Stahlblech und anschließendes Biegen zu einer Spirale, die sich spiralförmig um den Zylinder windet, gebildet werden, wie in der Abbildung dargestellt. Wie groß sollte der Radius r des Ringes sein, um die beste Passung zu erzielen? Die Differentialgeometrie liefert die Lösung für dieses Problem, indem sie ein genaues Maß für die Krümmung einer Kurve festlegt; dann kann r so lange angepasst werden, bis die Krümmung der Innenkante des Ringes mit der Krümmung der Helix übereinstimmt.

Eine wichtige Frage bleibt: Kann der Ringstreifen ohne Dehnung so gebogen werden, dass er eine Strebe um den Zylinder bildet? Das bedeutet insbesondere, dass die entlang der Fläche gemessenen Abstände (intrinsisch) unverändert bleiben. Zwei Flächen sind isometrisch, wenn die eine in die andere gebogen (oder transformiert) werden kann, ohne dass sich die intrinsischen Abstände ändern. (Da beispielsweise ein Blatt Papier zu einem Rohr gerollt werden kann, ohne sich zu dehnen, sind das Blatt und das Rohr „lokal“ isometrisch – nur lokal, weil durch die Verbindung der beiden Kanten des Papiers neue und möglicherweise kürzere Strecken entstehen). Damit stellt sich die zweite Frage: Sind der ringförmige Streifen und der Steg isometrisch? Um diese und ähnliche Fragen zu beantworten, entwickelte die Differentialgeometrie den Begriff der Krümmung einer Oberfläche.