Kontinuumshypotese
Kontinuumshypotese, udsagn fra mængdelæren om, at mængden af reelle tal (kontinuummet) i en vis forstand er så lille som den kan være. I 1873 beviste den tyske matematiker Georg Cantor, at kontinuummet er utælleligt – dvs. at de reelle tal er en større uendelighed end de tællende tal – et centralt resultat i starten af mængdelære som matematisk emne. Cantor udviklede desuden en metode til at klassificere størrelsen af uendelige mængder i henhold til antallet af deres elementer, eller deres kardinalitet. (Se mængdelære: Kardinalitet og transfinitte tal.) I disse termer kan kontinuumshypotesen formuleres på følgende måde: Det kontinuums kardinalitet er det mindste utællelige kardinaltal.
I Cantors notation kan kontinuumshypotesen angives ved den simple ligning 2ℵ0 = ℵ1, hvor ℵ0 er kardinaltallet for en uendelig tællelig mængde (som f.eks. mængden af naturlige tal), og kardinaltallene for større “velordnede mængder” er ℵ1, ℵ2, …, ℵα, …, indekseret ved ordinalnumrene. Det kan påvises, at kontinuummets kardinalitet er lig med 2ℵ0; kontinuumshypotesen udelukker således, at der findes et sæt af størrelse mellem de naturlige tal og kontinuummet.
Et stærkere udsagn er den generaliserede kontinuumshypotese (GCH): 2ℵα = ℵα + 1 for hvert ordinalt tal α. Den polske matematiker Wacław Sierpiński beviste, at man med GCH kan udlede valgaxiomet.
Som med valgaxiomet beviste den østrigskfødte amerikanske matematiker Kurt Gödel i 1939, at hvis de andre standard Zermelo-Fraenkel-aksiomer (ZF; se 
tabel) er konsistente, så modbeviser de ikke kontinuumshypotesen eller endog GCH. Det vil sige, at resultatet af at tilføje GCH til de andre aksiomer fortsat er konsistent. I 1963 fuldendte den amerikanske matematiker Paul Cohen billedet ved at vise, igen under forudsætning af at ZF er konsistent, at ZF ikke giver et bevis for kontinuumshypotesen.
Da ZF hverken beviser eller modbeviser kontinuumshypotesen, er der stadig spørgsmålet om, hvorvidt man skal acceptere kontinuumshypotesen baseret på en uformel opfattelse af, hvad mængder er. Det generelle svar i det matematiske samfund har været negativt: kontinuumshypotesen er et begrænsende udsagn i en sammenhæng, hvor der ikke er nogen kendt grund til at pålægge en begrænsning. I mængdelæren tildeler power-set-operationen hver mængde af kardinalitet ℵα dens mængde af alle delmængder, som har kardinalitet 2ℵα. Der synes ikke at være nogen grund til at pålægge en grænse for den mangfoldighed af delmængder, som en uendelig mængde kan have.
Leave a Reply