Homotopiteori

Rum og kortRediger

I homotopiteori og algebraisk topologi betegner ordet “rum” et topologisk rum. For at undgå patologier arbejder man sjældent med vilkårlige rum; i stedet kræver man, at rum skal opfylde ekstra begrænsninger, såsom at være kompakt genereret, eller Hausdorff, eller et CW-kompleks.

I samme ånd som ovenfor er et “map” en kontinuert funktion, eventuelt med nogle ekstra begrænsninger.

Ofte arbejder man med et spidsrum — det vil sige et rum med et “fornemt punkt”, kaldet et basepoint. Et spidst kort er så et kort, der bevarer basepoints; det vil sige, at det sender domænets basepoint til kodomænets basepoint. I modsætning hertil er et frit kort et kort, som ikke behøver at bevare basepoints.

HomotopyEdit

Lad I betegne enhedsintervallet. En familie af kort indekseret af I, h t : X → Y {\displaystyle h_{t}:X\til Y}

kaldes en homotopi fra h 0 {\displaystyle h_{0}}

til h 1 {\displaystyle h_{1}}}

hvis h : I × X → Y , ( t , x ) ↦ h t ( x ) {\displaystyle h:I\times X\til Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}

er et kort (det skal f.eks. være en kontinuert funktion). Når X, Y er punktrum, er h t {\displaystyle h_{t}}

er påkrævet for at bevare basispunkterne. En homotopi kan vises at være en ækvivalensrelation. Givet et punktrum X og et heltal n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}

, lad π n ( X ) = ∗ {\displaystyle \pi _{n}(X)=_{*}}

være homotopyklasserne af baserede kort S n → X {\displaystyle S^{n}\til X}

fra en (spids) n-sfære S n {\displaystyle S^{n}}}

til X. Det viser sig, at π n ( X ) {\displaystyle \pi _{n}(X)}

er grupper; i særdeleshed er π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)}

kaldes den fundamentale gruppe for X.

Hvis man foretrækker at arbejde med et rum i stedet for et punktrum, er der begrebet fundamental groupoid (og højere varianter): pr. definition er den fundamentale groupoid for et rum X den kategori, hvor objekterne er punkterne i X, og morfemserne er stier.

Cofibration og fibrationRediger

Et kort f : A → X {\displaystyle f:A\til X}

kaldes en cofibration, hvis der gives (1) et kort h 0 : X → Z {\displaystyle h_{0}:X\til Z}

og (2) en homotopi g t : A → Z {\displaystyle g_{t}:A\til Z}

, findes der en homotopi h t : X → Z {\displaystyle h_{t}:X\to Z}

, der udvider h 0 {\displaystyle h_{0}}

og sådan, at h t ∘ f = g t {\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}

. I en vis løs forstand er det en analog til det definerende diagram for et injektivt modul i abstrakt algebra. Det mest grundlæggende eksempel er et CW-par ( X , A ) {\displaystyle (X,A)}

; da mange kun arbejder med CW-komplekser, er begrebet cofibration ofte implicit.

En fibration i Serres forstand er det dobbelte begreb af en cofibration: dvs. et kort p : X → B {\displaystyle p:X\til B}

er en fibration, hvis givet (1) et kort Z → X {\displaystyle Z\to X}

og (2) en homotopi g t : Z → B {\displaystyle g_{t}:Z\to B}

, findes der en homotopi h t : Z → X {\displaystyle h_{t}:Z\to X}

sådan at h 0 {\displaystyle h_{0}}

er den givne og p ∘ h t = g t {\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}

. Et grundlæggende eksempel er et dækkende kort (faktisk er en fibration en generalisering af et dækkende kort). Hvis E {\displaystyle E}

er en principal G-bundle, dvs. et rum med en fri og transitiv (topologisk) gruppeaktion af en (topologisk) gruppe, så er projektionskortet p : E → X {\displaystyle p:E\til X}

er et eksempel på en fibration.

Klassificeringsrum og homotopyoperationerRediger

Givet en topologisk gruppe G er klassifikationsrummet for de vigtigste G-bundles (“the” op til ækvivalens) et rum B G {\displaystyle BG}

sådan, at for hvert rum X, = {\displaystyle =}

{ principal G-bundle on X } / ~ , ↦ f ∗ E G { {\displaystyle ,\,\,\,\mapsto f^{*}EG}

hvor

• den venstre side er mængden af homotopyklasser af kort X → B G {\displaystyle X\til BG}
  

  ,

• ~ henviser til isomorfi af bundter, og
• = er givet ved at trække det fornemme bundt E G {\displaystyle EG} tilbage
  

  på B G {\displaystyle BG}

  

  (kaldet universalbundle) langs et kort X → B G {\displaystyle X\til BG}

  

  .

Browns repræsentabilitetssætning garanterer eksistensen af klassificerende rum.

Spektrum og generaliseret kohomologiRediger

Den idé, at et klassificerende rum klassificerer hovedbundter, kan skubbes videre. For eksempel kan man forsøge at klassificere kohomologiklasser: givet en abelisk gruppe A (som Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

), = H n ( X ; A ) {\displaystyle =\operatornavn {H} ^{n}(X;A)}

hvor K ( A , n ) {\displaystyle K(A,n)}

er Eilenberg-MacLane-rummet. Ovenstående ligning fører til begrebet generaliseret kohomologiteori; dvs. en kontravariant funktor fra kategorien af rum til kategorien af abelske grupper, der opfylder de aksiomer, der generaliserer den almindelige kohomologiteori. Det viser sig, at en sådan funktor måske ikke kan repræsenteres af et rum, men at den altid kan repræsenteres af en sekvens af (spidse) rum med strukturkort kaldet et spektrum. Med andre ord er det at give en generaliseret kohomologiteori ensbetydende med at give et spektrum.

Et grundlæggende eksempel på et spektrum er et kuglespektrum: S 0 → S 1 → S 2 → ⋯ {\displaystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to S^{2}\to \cdots }