Homomorfisme
Flere former for homomorfisme har et specifikt navn, som også er defineret for generelle morfismer.
IsomorfismeRediger
En isomorfisme mellem algebraiske strukturer af samme type er almindeligvis defineret som en bijektiv homomorfisme.:134 :28
I den mere generelle sammenhæng i kategoriteori defineres en isomorfi som en morfisme, der har en omvendt morfisme, der også er en morfisme. I det specifikke tilfælde af algebraiske strukturer er de to definitioner ækvivalente, selv om de kan være forskellige for ikke-algebraiske strukturer, som har en underliggende mængde.
Mere præcist, hvis
f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
er en (homo)morfisme, har den en omvendt, hvis der findes en homomorfisme
g : B → A {\displaystyle g:B\til A}
således at
f ∘ g = Id B og g ∘ f = Id A . {\displaystyle f\circ g=\operatornavn {Id} _{B}\qquad {\text{and}}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}
Hvis A {\displaystyle A}
og B {\displaystyle B}
har underliggende mængder, og f : A → B {\displaystyle f:A\til B}
har en omvendt g {\displaystyle g}
, så er f {\displaystyle f}
er bijektiv. Faktisk er f {\displaystyle f}
er injektiv, da f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)}
indebærer, at x = g ( f ( x ) ) = g ( f ( y ) ) = y {\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}
, og f {\displaystyle f}
er surjektiv, da for ethvert x {\displaystyle x}
i B {\displaystyle B}
, har man x = f ( g ( x ) ) {\displaystyle x=f(g(x))}
, og x {\displaystyle x}
er billedet af et element i A {\displaystyle A}
.
Og omvendt, hvis f : A → B {\displaystyle f:A\til B}
er en bijektiv homomorfi mellem algebraiske strukturer, så lad g : B → A {\displaystyle g:B\til A}
være det map, således at g ( y ) {\displaystyle g(y)}
er det eneste element x {\displaystyle x}
af A {\displaystyle A}
sådan, at f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y}
. Man har f ∘ g = Id B og g ∘ f = Id A , {\displaystyle f\circ g=\operatornavn {Id} _{B}{\text{ og }}g\circ f=\operatornavn {Id} _{A},}
og det er kun tilbage at vise, at g er en homomorfisme. Hvis ∗ {\displaystyle *}
er en binær operation af strukturen, vil for hvert par x {\displaystyle x}
, y {\displaystyle y}
af elementer i B {\displaystyle B}
, har man g ( x ∗ B y ) = g ( f ( g ( g ( x ) ) ) ∗ B f ( g ( g ( y ) ) ) = g ( f ( g ( g ( x ) ∗ A g ( y ) ) ) = g ( x ) ∗ A g ( y ) , {\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y)),}
og g {\displaystyle g}
er således forenelig med ∗ . {\displaystyle *.}
Da beviset er ens for enhver aritet, viser dette, at g {\displaystyle g}
er en homomorfisme.
Dette bevis virker ikke for ikke-algebraiske strukturer. For eksempel er for topologiske rum en morfisme et kontinuert kort, og den inverse af et bijektivt kontinuert kort er ikke nødvendigvis kontinuert. En isomorfi af topologiske rum, kaldet homeomorfi eller bikontinuert kort, er således et bijektivt kontinuert kort, hvis inverse også er kontinuert.
EndomorfismeRediger
En endomorfi er en homomorfi, hvis domæne er lig med kodomænet, eller mere generelt en morfi, hvis kilde er lig med målet.:135
Endomorfismerne af en algebraisk struktur eller af et objekt i en kategori danner en monoide under komposition.
Endomorfismerne af et vektorrum eller af et modul danner en ring. I tilfælde af et vektorrum eller et frit modul af endelig dimension inducerer valget af en basis en ringisomorfi mellem ringen af endomorfismer og ringen af kvadratiske matricer af samme dimension.
AutomorfismeRediger
En automorfisme er en endomorfisme, der også er en isomorfi.:135
Automorfismerne af en algebraisk struktur eller af et objekt i en kategori danner en gruppe under komposition, som kaldes strukturens automorphismegruppe.
Mange grupper, der har fået et navn, er automorphismegrupper af en eller anden algebraisk struktur. For eksempel den generelle lineære gruppe GL n ( k ) {\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}
er automorphismegruppen for et vektorrum af dimension n {\displaystyle n}
over et felt k {\displaystyle k}
.
Felternes automorfismegrupper blev introduceret af Évariste Galois til undersøgelse af polynomiernes rødder og er grundlaget for Galois-teorien.
MonomorfismeRediger
For algebraiske strukturer defineres monomorfismer almindeligvis som injektive homomorfismer.:134 :29
I den mere generelle sammenhæng i kategoriteori defineres en monomorfisme som en morfisme, der er venstre annullerbar. Det betyder, at en (homo)morfisme f : A → B {\displaystyle f:A\til B}
er en monomorfisme, hvis der for ethvert par g {\displaystyle g}
, h {\displaystyle h}
af morfismer fra ethvert andet objekt C {\displaystyle C}
til A {\displaystyle A}
, så er f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h}
indebærer, at g = h {\displaystyle g=h}
.
Disse to definitioner af monomorfisme er ækvivalente for alle almindelige algebraiske strukturer. Mere præcist er de ækvivalente for felter, for hvilke enhver homomorfisme er en monomorfisme, og for varieteter af universel algebra, dvs. algebraiske strukturer, for hvilke operationer og aksiomer (identiteter) er defineret uden nogen begrænsning (felter er ikke en sort, da den multiplikative inverse er defineret enten som en unarisk operation eller som en egenskab ved multiplikationen, som i begge tilfælde kun er defineret for elementer, der ikke er nul).
I særdeleshed er de to definitioner af en monomorfisme ækvivalente for mængder, magmaer, halvgrupper, monoider, grupper, ringe, felter, vektorrum og moduler.
En delt monomorfisme er en homomorfisme, der har en venstre invers, og dermed er den selv en højre invers af denne anden homomorfisme. Det vil sige, at en homomorfisme f : A → B {\displaystyle f\colon A\til B}
er en splittet monomorfisme, hvis der findes en homomorfisme g : B → A {\displaystyle g\colon B\til A}
sådan at g ∘ f = Id A . {\displaystyle g\circ f=\operatornavn {Id} _{A}.}
En delt monomorfisme er altid en monomorfisme, for begge betydninger af monomorfisme. For mængder og vektorrum er enhver monomorfisme en delt monomorfisme, men denne egenskab gælder ikke for de fleste almindelige algebraiske strukturer.
En injektiv homomorphisme er venstre annullerbar: Hvis f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}
har man f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}
for ethvert x {\displaystyle x}
i C {\displaystyle C}
, den fælles kilde til g {\displaystyle g}
og h {\displaystyle h}
. Hvis f {\displaystyle f}
er injektiv, så er g ( x ) = h ( x ) {\displaystyle g(x)=h(x)}
, og dermed er g = h {\displaystyle g=h}
. Dette bevis virker ikke kun for algebraiske strukturer, men også for enhver kategori, hvis objekter er mængder, og hvis pile er kort mellem disse mængder. F.eks. er et injektivt kontinuerligt kort en monomorfisme i kategorien af topologiske rum.
For at bevise, at omvendt er en venstre annullerbar homomorfisme injektiv, er det nyttigt at betragte et frit objekt på x {\displaystyle x}
. Givet en række algebraiske strukturer er et frit objekt på x {\displaystyle x}
et par bestående af en algebraisk struktur L {\displaystyle L}
af denne sort og et element x {\displaystyle x}
af L {\displaystyle L}
, der opfylder følgende universelle egenskab: for enhver struktur S {\displaystyle S}
af varieteten, og ethvert element s {\displaystyle s}
af S {\displaystyle S}
, findes der en unik homomorfisme f : L → S {\displaystyle f:L\til S}
sådan at f ( x ) = s {\displaystyle f(x)=s}
. For mængder er det frie objekt på x {\displaystyle x}
for eksempel blot { x } {\displaystyle \{x\}}
; for semigrupper er det frie objekt på x {\displaystyle x}
{ x , x 2 , … , x n , … } , {{\displaystyle \{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
som, som en semigruppe, er isomorfi til den additive semigruppe af de positive hele tal; for monoider er det frie objekt på x {\displaystyle x}
{ 1 , x , x 2 , … , x n , … } , {{\displaystyle \{1,x,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
som, som en monoide, er isomorfi til den additive monoide af de ikke-negative hele tal; for grupper er det frie objekt på x {\displaystyle x}
den uendelige cykliske gruppe { … , x – n , … , x – 1 , 1 , x , x , x 2 , … , x n , … } , { {\displaystyle \{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
som som, som en gruppe, er isomorfi til den additive gruppe af de hele tal; for ringe er det frie objekt på x {\displaystyle x}
} den polynomiske ring Z ; {\displaystyle \mathbb {Z} ;}
for vektorrum eller moduler er det frie objekt på x {\displaystyle x}
det vektorrum eller frie modul, der har x {\displaystyle x}
som en basis.
Hvis der findes et frit objekt over x {\displaystyle x}
, så er enhver venstre annullerbar homomorfisme injektiv: lad f : A → B {\displaystyle f\colon A\til B}
være en venstre annullerbar homomorfisme, og a {\displaystyle a}
og b {\displaystyle b}
være to elementer i A {\displaystyle A}
således at f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)}
. Ved definitionen af det frie objekt F {\displaystyle F}
, findes der homomorfismer g {\displaystyle g}
og h {\displaystyle h}
fra F {\displaystyle F}
til A {\displaystyle A}
således at g ( x ) = a {\displaystyle g(x)=a}
og h ( x ) = b {\displaystyle h(x)=b}
. Da f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}
, har man f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h ,}
ved entydigheden i definitionen af en universel egenskab. Da f {\\displaystyle f}
er venstre annullerbar, har man g = h {\displaystyle g=h}
, og dermed er a = b {\displaystyle a=b}
. Derfor er f {\displaystyle f}
er injektiv.
Eksistens af et frit objekt på x {\displaystyle x}
for en varietet (se også Frit objekt § Eksistens): For at opbygge et frit objekt over x {\displaystyle x}
, skal man overveje mængden W {\displaystyle W}
af de velformede formler, der er opbygget ud fra x {\displaystyle x}
og strukturens operationer. To sådanne formler siges at være ækvivalente, hvis man kan gå fra den ene til den anden ved at anvende aksiomerne (strukturens identiteter). Dette definerer en ækvivalensrelation, hvis identiteterne ikke er underlagt betingelser, dvs. hvis man arbejder med en variation. I så fald er variationens operationer veldefineret på mængden af ækvivalensklasser af W {\displaystyle W}
for denne relation. Det er ligetil at vise, at det resulterende objekt er et frit objekt på W {\displaystyle W}
.
EpimorfismeRediger
I algebra defineres epimorfismer ofte som surjektive homomorfismer.:134:43 På den anden side defineres epimorfismer i kategoriteori som højre annullerbare morfismer. Det betyder, at en (homo)morfisme f : A → B {\displaystyle f:A\til B}
er en epimorfisme, hvis der for ethvert par g {\displaystyle g}
, h {\displaystyle h}
af morfismer fra B {\displaystyle B}
til ethvert andet objekt C {\displaystyle C}
, er ligheden g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}
indebærer g = h {\displaystyle g=h}
.
En surjektiv homomorfisme er altid højre annullerbar, men det omvendte er ikke altid tilfældet for algebraiske strukturer. De to definitioner af epimorfisme er dog ækvivalente for mængder, vektorrum, abelske grupper, moduler (se nedenfor for et bevis) og grupper. Betydningen af disse strukturer i al matematik, og specielt i lineær algebra og homologisk algebra, kan forklare sameksistensen af to ikke-ækvivalente definitioner.
Algebraiske strukturer, for hvilke der findes ikke-surjektive epimorfismer, omfatter semigrupper og ringe. Det mest grundlæggende eksempel er inklusionen af hele tal i rationale tal, som er en homomorfi af ringe og multiplikative semigrupper. For begge strukturer er det en monomorfisme og en ikke-surjektiv epimorfisme, men ikke en isomorfi.
En bred generalisering af dette eksempel er lokaliseringen af en ring ved et multiplikativt sæt. Enhver lokalisering er en ringepimorfisme, som i almindelighed ikke er surjektiv. Da lokaliseringer er fundamentale i kommutativ algebra og algebraisk geometri, kan dette forklare, hvorfor man på disse områder generelt foretrækker definitionen af epimorfismer som højreopløselige homomorfismer.
En splittet epimorfisme er en homomorfisme, der har en højreinvers, og dermed er den selv en venstreinvers af denne anden homomorfisme. Det vil sige, at en homomorfisme f : A → B {\displaystyle f\colon A\til B}
er en delt epimorfisme, hvis der findes en homomorfisme g : B → A {\displaystyle g\colon B\til A}
sådan at f ∘ g = Id B . {\displaystyle f\circ g=\operatornavn {Id} _{B}.}
En opdelt epimorfisme er altid en epimorfisme, for begge betydninger af epimorfisme. For mængder og vektorrum er enhver epimorfisme en delt epimorfisme, men denne egenskab gælder ikke for de fleste almindelige algebraiske strukturer.
Sammenfattende har man
split epimorphisme ⟹ epimorphisme (surjektiv) ⟹ epimorphisme (højre annullerbar) ; {\displaystyle {\text{split epimorphisme}}}\implies {\text{epimorphisme (surjektiv)}}\implies {\text{epimorphisme (højre annullerbar)}};}
den sidste implikation er en ækvivalens for mængder, vektorrum, moduler og abeliske grupper; den første implikation er en ækvivalens for mængder og vektorrum.
Let f : A → B {\displaystyle f\colon A\til B}
være en homomorfisme. Vi ønsker at bevise, at hvis den ikke er surjektiv, er den ikke ret annulérbar.
I tilfældet med mængder, lad b {\displaystyle b}
være et element i B {\displaystyle B}
, der ikke hører til f ( A ) {\displaystyle f(A)}
, og definere g , h : B → B {\displaystyle g,h\kolon B\til B}
således at g {\displaystyle g}
er identitetsfunktionen, og at h ( x ) = x {\displaystyle h(x)=x}
for ethvert x ∈ B , {\displaystyle x\in B,}
bortset fra, at h ( b ) {\displaystyle h(b)}
er et hvilket som helst andet element i B {\displaystyle B}
. Det er klart, at f {\displaystyle f}
er ikke højre annullerbar, da g ≠ h {\displaystyle g\neq h}
og g ∘ f = h ∘ f . {\\displaystyle g\circ f=h\circ f.}
For vektorrum, abelske grupper og moduler beror beviset på eksistensen af cokernels og på den kendsgerning, at nulkort er homomorfismer: lad C {\displaystyle C}
være cokernel af f {\displaystyle f}
, og g : B → C {\displaystyle g\colon B\til C}
være det kanoniske kort, således at g ( f ( A ) ) = 0 {\displaystyle g(f(A))=0}
. Lad h : B → C {\displaystyle h\colon B\til C}
være nulkortet. Hvis f {\displaystyle f}
ikke er surjektiv, er C ≠ 0 {\displaystyle C\neq 0}
, og dermed er g ≠ h {\displaystyle g\neq h}
(den ene er et nulkort, mens den anden ikke er det). Således er f {\displaystyle f}
er ikke annullerbar, da g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}
(begge er nulkortet fra A {\displaystyle A}
til C {\displaystyle C}
).
Leave a Reply