Homeomorfi Homeomorfi

Topologisk rum

Et af de mest grundlæggende strukturelle begreber i topologi er at gøre en mængde X til et topologisk rum ved at angive en samling af delmængder T af X. En sådan samling skal opfylde tre aksiomer: (1) selve mængden X og den tomme mængde er medlemmer af T, (2) skæringspunktet af ethvert endeligt antal mængder i T er i T, og (3) foreningen af enhver samling af mængder i T er i T. Mængderne i T kaldes åbne mængder, og T kaldes en topologi på X. F.eks. bliver den reelle talrække et topologisk rum, når dens topologi specificeres som samlingen af alle mulige unioner af åbne intervaller – f.eks. (-5, 2), (1/2, π), (0, kvadratrod af√2), …. (En tilsvarende proces giver en topologi på et metrisk rum.) Andre eksempler på topologier på mængder forekommer udelukkende i form af mængdelære. F.eks. kaldes samlingen af alle delmængder af en mængde X for den diskrete topologi på X, og samlingen, der kun består af den tomme mængde og X selv, udgør den indiskrete eller trivielle topologi på X. Et givet topologisk rum giver anledning til andre beslægtede topologiske rum. F.eks. arver en delmængde A af et topologisk rum X en topologi, kaldet den relative topologi, fra X, når de åbne mængder af A betragtes som skæringspunkterne mellem A og åbne mængder af X. Den enorme mangfoldighed af topologiske rum giver en rig kilde til eksempler, der kan motivere generelle sætninger, samt modeksempler, der kan vise falske formodninger. Desuden giver generaliteten af aksiomerne for et topologisk rum matematikere mulighed for at betragte mange former for matematiske strukturer, f.eks. samlinger af funktioner i analysen, som topologiske rum og dermed forklare tilknyttede fænomener på nye måder.

Et topologisk rum kan også defineres ved hjælp af et alternativt sæt aksiomer, der involverer lukkede mængder, som er komplementer til åbne mængder. I tidlige overvejelser om topologiske ideer, især for objekter i det n-dimensionelle euklidiske rum, var lukkede mængder opstået naturligt i forbindelse med undersøgelsen af konvergens af uendelige sekvenser (se uendelige serier). Det er ofte praktisk eller nyttigt at antage ekstra aksiomer for en topologi for at etablere resultater, der gælder for en betydelig klasse af topologiske rum, men ikke for alle topologiske rum. Et sådant aksiom kræver, at to forskellige punkter skal tilhøre disintegrerede åbne mængder. Et topologisk rum, der opfylder dette aksiom, er blevet kaldt et Hausdorff-rum.