Hilbert-rum

Hilbert-rum, i matematik, et eksempel på et uendeligt-dimensionelt rum, der havde stor betydning for analyse og topologi. Den tyske matematiker David Hilbert beskrev først dette rum i sit arbejde med integralligninger og Fourierrækker, som optog ham i perioden 1902-12.

Læs mere om dette emne

topologi: Topologiens historie

…de topologiske egenskaber ved det uendeligt-dimensionelle Hilbert-rum. Disse bestræbelser foregreb et nyt område inden for topologi, som nu…

Punkterne i Hilbert-rummet er uendelige sekvenser (x1, x2, x3, …) af reelle tal, der er kvadratisk summable, dvs. for hvilke den uendelige serie x12 + x22 + x32 + … konvergerer mod et eller andet endeligt tal. I direkte analogi med det n-dimensionelle euklidiske rum er Hilbert-rummet et vektorrum, der har et naturligt indre produkt, eller prikprodukt, som giver en afstandsfunktion. Under denne afstandsfunktion bliver det et komplet metrisk rum og er således et eksempel på det, som matematikere kalder et komplet indre produktrum.

Snart efter Hilberts undersøgelse beviste den østrigsk-tyske matematiker Ernst Fischer og den ungarske matematiker Frigyes Riesz, at kvadratisk integrerbare funktioner (funktioner, hvor integrationen af kvadratet på deres absolutte værdi er endelig) også kunne betragtes som “punkter” i et komplet indre produktrum, der svarer til Hilbert-rummet. I den forbindelse spillede Hilbert-rummet en rolle i udviklingen af kvantemekanikken, og det har fortsat været et vigtigt matematisk værktøj i anvendt matematik og matematisk fysik.

I analysen indvarslede opdagelsen af Hilbert-rummet den funktionelle analyse, et nyt område, hvor matematikere studerer egenskaberne ved ganske generelle lineære rum. Blandt disse rum er de fuldstændige indre produktrum, som nu kaldes Hilbert-rum, en betegnelse, der først blev brugt i 1929 af den ungarsk-amerikanske matematiker John von Neumann til at beskrive disse rum på en abstrakt aksiomatisk måde. Hilbert-rum har også været en kilde til rige idéer inden for topologien. Som et metrisk rum kan Hilbert-rummet betragtes som et uendeligt-dimensionelt lineært topologisk rum, og vigtige spørgsmål vedrørende dets topologiske egenskaber blev rejst i første halvdel af det 20. århundrede. I første omgang motiveret af sådanne egenskaber ved Hilbert-rummene etablerede forskere et nyt underområde inden for topologi kaldet uendelig dimensionel topologi i 1960’erne og 70’erne.