Gyroid

Gyroiden er det eneste ikke-trivielle indlejrede medlem af den associerede familie af Schwarz’ P- og D-overflader. Dens associationsvinkel i forhold til D-overfladen er ca. 38,01°. Gyroiden ligner lidinoiden. Gyroiden blev opdaget i 1970 af NASA-forskeren Alan Schoen. Han beregnede associationsvinklen og gav en overbevisende demonstration med billeder af indviklede plastiske modeller, men gav ikke noget bevis for indlejring. Schoen bemærkede, at gyroiden hverken indeholder lige linjer eller planære symmetrier. Karcher gav en anden, mere tidssvarende behandling af overfladen i 1989 ved hjælp af en konjugeret overfladekonstruktion. I 1996 beviste Große-Brauckmann og Wohlgemuth, at den er indlejret, og i 1997 leverede Große-Brauckmann CMC-varianter af gyroiden og foretog yderligere numeriske undersøgelser om volumenfraktionerne af de minimale og CMC (konstant middelkrumning) gyroider.

Gyroiden opdeler rummet i to modsat kongruente labyrinter af passager. Gyroiden har rumgruppe I4132 (nr. 214). Kanaler løber gennem de gyroide labyrinter i (100)- og (111)-retningen; passagerne kommer ud i vinkler på 70,5 grader i forhold til en given kanal, når den gennemløbes, og den retning, de gør det i, drejer sig ned ad kanalen, hvilket giver anledning til navnet “gyroide”. En måde at visualisere overfladen på er at forestille sig P-overfladens “firkantede katenoider” (dannet af to firkanter i parallelle planer, med en næsten cirkulær talje); rotation omkring firkanterne genererer P-overfladen. I den associerede familie “åbner” disse kvadratiske katenoider sig (på samme måde som katenoiden “åbner sig” til en helicoid) for at danne roterende bånd, der til sidst bliver til Schwarz D-overfladen. For en værdi af den associerede familieparameter ligger de drejende bånd netop på de steder, der kræves for at have en indlejret overflade.

Gyroiden er den eneste kendte indlejrede tredobbelt periodiske minimumsoverflade, der har tredobbelte krydsninger og ingen linjer med refleksiv symmetri, i modsætning til de fem minimumsoverflader, der blev undersøgt af Anderson et al. i 1990.

Gyroiden henviser til det medlem, der er i den associerede familie af Schwarz P-overfladen, men i virkeligheden findes gyroiden i flere familier, der bevarer forskellige symmetrier af overfladen; en mere fuldstændig diskussion af familier af disse minimale overflader vises i triply periodiske minimale overflader.

Som nogle andre tredobbelt periodiske minimumsoverflader kan gyroideoverfladen, ligesom nogle andre tredobbelt periodiske minimumsoverflader, tilnærmes trigonometrisk ved hjælp af en kort ligning:

sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0 {\displaystyle \sin x\cos y+\sin y\cos z+\sin z\cos x=0}