Gaussisk overflade

Se også: Ladningstæthed
Eksempler på gyldige (venstre) og ugyldige (højre) Gaussiske overflader. Til venstre: Nogle gyldige gaussiske overflader omfatter overfladen af en kugle, overfladen af en torus og overfladen af en terning. Det er lukkede overflader, der omslutter et 3D-volumen fuldstændigt. Til højre: Nogle overflader, der IKKE kan anvendes som gaussiske overflader, f.eks. skiveoverfladen, den kvadratiske overflade eller halvkugleoverfladen. De omslutter ikke fuldt ud et 3D-volumen og har grænser (røde). Bemærk, at uendelige planer kan tilnærme sig gaussiske overflader.

De fleste beregninger med gaussiske overflader begynder med at implementere Gauss’ lov (for elektricitet):

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

\Phi_E = \,\!
\oiint

S {\displaystyle \scriptstyle S\!}

{\displaystyle \scriptstyle S\!}

E ⋅ d A = Q enc ε 0 . {\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d}} \mathbf {A} ={\\frac {Q_{{\text{enc}}}}{\varepsilon _{0}}}}.\,\!}

{\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{{\text{enc}}}}{\varepsilon _{0}}}}.\,\!}

Dermed er Qenc den elektriske ladning, der er omsluttet af den gaussiske overflade.

Dette er Gauss’ lov, der kombinerer både divergenssætningen og Coulomb’s lov.

Kugleformet overfladeRediger

En kugleformet gaussisk overflade anvendes, når man skal finde det elektriske felt eller den elektriske strøm, der frembringes af en af følgende ting:

  • en punktladning
  • en ensartet fordelt sfærisk ladningsskal
  • en hvilken som helst anden ladningsfordeling med sfærisk symmetri

Den sfæriske Gaussiske overflade vælges således, at den er koncentrisk med ladningsfordelingen.

Som eksempel kan man betragte en ladet sfærisk skal S af ubetydelig tykkelse, med en ensartet fordelt ladning Q og radius R. Vi kan bruge Gauss’ lov til at finde størrelsen af det resulterende elektriske felt E i en afstand r fra centrum af den ladede skal. Det er umiddelbart indlysende, at for en sfærisk gaussisk overflade med radius r < R er den indesluttede ladning nul: derfor er nettoflowet nul, og størrelsen af det elektriske felt på den gaussiske overflade er også 0 (ved at lade QA = 0 i Gauss’ lov, hvor QA er den ladning, der er indesluttet af den gaussiske overflade).

Med samme eksempel vil Gauss’ lov ved brug af en større gaussisk overflade uden for skallen, hvor r > R, give et elektrisk felt, der ikke er nul. Dette bestemmes på følgende måde.

Flowet ud af den sfæriske overflade S er:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

\Phi_E = \,\!
\oiint

∂ S {\displaystyle \scriptstyle \scriptstyle \partial S\,\!}

\scriptstyle \partial S\,\!

E ⋅ d A = ∫ ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ ∫ S d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\int \!\!\!\!\!\!\!\!\!\int _{S}dA\,\!}

 \mathbf{E}\cdot d \mathbf{A} = \int\!\!\!\!\!\!\int_c E dA\cos 0^\circ = E \int\!\!\!\!\!\!\int_S dA \,\!

Overfladearealet af kuglen med radius r er

∫ ∫ ∫ S d A = 4 π r 2 {\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\!\!\int _{S}dA=4\pi r^{2}}}

 \int\!\!\!\!\!\!\!\int_S dA = 4 \pi r^2

hvilket indebærer

Φ E = E 4 π r 2 {\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}

\Phi_E = E 4\pi r^2

I henhold til Gauss’ lov er strømmen også

Φ E = Q A ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}}{\varepsilon _{0}}}}

\Phi_E =\frac{Q_A}{\varepsilon_0}

slutteligt giver ligning af udtrykket for ΦE størrelsen af E-feltet ved positionen r:

E 4 π r 2 = Q A ε 0 ⇒ E = Q A 4 π ε 0 r 2 . {\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}}{\varepsilon _{0}}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.}

E 4\pi r^2 = \frac{Q_A}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E=\frac{Q_A}{4\pi\varepsilon_0r^2}.

Dette ikke-trivielle resultat viser, at enhver sfærisk fordeling af ladning virker som en punktladning, når den observeres udefra; dette er faktisk en verifikation af Coulombs lov. Og, som nævnt, tæller alle ydre ladninger ikke med.

Cylindrisk overfladeRediger

En cylindrisk gaussisk overflade anvendes, når man finder det elektriske felt eller den elektriske strøm, der produceres af en af følgende:

  • en uendelig lang linje med ensartet ladning
  • en uendelig plan med ensartet ladning
  • en uendelig lang cylinder med ensartet ladning

Et eksempel “felt nær uendelig linjeladning” er givet nedenfor;

Opmærksomheden henledes på et punkt P i en afstand r fra en uendelig linjeladning med ladningstæthed (ladning pr. længdeenhed) λ. Forestil dig en lukket overflade i form af en cylinder, hvis rotationsakse er linjeladningen. Hvis h er cylinderens længde, så er den i cylinderen indesluttede ladning

q = λ h {\displaystyle q=\lambda h}

 q = \lambda h

,

hvor q er den ladning, der er indesluttet i den gaussiske overflade. Der er tre flader a, b og c som vist i figuren. Det differentielle vektorareal er dA, på hver overflade a, b og c.

Den lukkede overflade i form af en cylinder med linjeladning i midten og viser differentielle arealer dA af alle tre overflader.

Flowet, der passerer, består af de tre bidrag:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

 \Phi_E = \,\!
\oiint

A {\displaystyle \scriptstyle \scriptstyle A\,\!}

\scriptstyle A\,\!

E ⋅ d A = ∫ ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ ∫ ∫ b E ⋅ d A + ∫ ∫ c E ⋅ d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\!\!\!\int _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\!\!\!\int _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\!\!\!\int _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }

\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \int\!\!\!\!\!\!\int_a \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} + \int\!\!\!\!\!\!\int_b\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} + \int\!\!\!\!\!\!\int_c\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}

For fladerne a og b vil E og dA være vinkelrette, og for fladen c vil E og dA være parallelle, som vist i figuren.

Φ E = ∫ ∫ a E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ ∫ b E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ ∫ c d A {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\int \!\!\!\!\!\!\int _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\!\!\int _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{{\circ }\\&=E\int \!\!\!\!\!\!\int _{c}dA\\\\end{aligned}}}

 \begin{align}} \Phi_E = \int\!\!\!\!\!\!\!\int_a E dA\cos 90^\circ + \int\!\!\!\!\!\!\int_b E d A \cos 90^\circ + \int\!\!\!\!\!\!\int_c E d A\cos 0^\circ \\ = E \int\!\!\!\!\!\!\int_c dA\\\\end{align}

Cylinderens overfladeareal er

∫ ∫ ∫ c d A = 2 π r h {\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\!\!\int _{c}dA=2\pi rh}

 \int\!\!\!\!\!\!\!\int_c dA = 2 \pi r h

hvilket indebærer

Φ E = E 2 π r h {\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}

 \Phi_E = E 2 \pi r h

I henhold til Gauss’ lov

Φ E = q ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}

 \Phi_E = \frac{q}{\varepsilon_0}

Genstand for ΦE giver

E 2 π r h = λ h ε ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε ε 0 r {\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}}r}}}

 E 2 \pi rh = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac{\lambda}{2 \pi\varepsilon_0 r}

Gaussisk pillboxEdit

Denne overflade bruges oftest til at bestemme det elektriske felt, der skyldes et uendeligt ladningslag med ensartet ladningstæthed eller en ladningsplade med en vis finite tykkelse. Pillboxen har en cylindrisk form og kan opfattes som bestående af tre komponenter: skiven i den ene ende af cylinderen med arealet πR², skiven i den anden ende med samme areal og siden af cylinderen. Summen af den elektriske strøm gennem hver komponent af overfladen er proportional med den indesluttede ladning i pilleæsken, som foreskrevet af Gauss’ lov. Da feltet tæt på pladen kan tilnærmes som konstant, er pilleæsken orienteret på en sådan måde, at feltlinjerne gennemtrænger skiverne i feltets ender i en vinkelret vinkel, og at cylinderens side er parallel med feltlinjerne.

Leave a Reply