Galois-teori

ForhistorieRediger

Galois’ teori har sin oprindelse i studiet af symmetriske funktioner – koefficienterne i et monisk polynomium er (op til fortegn) de elementære symmetriske polynomier i rødderne. F.eks. (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, hvor 1, a + b og ab er de elementære polynomier af grad 0, 1 og 2 i to variable.

Dette blev først formaliseret af den franske matematiker François Viète fra det 16. århundrede i Viète’s formler for tilfælde med positive reelle rødder. Ifølge den britiske matematiker Charles Hutton fra det 18. århundrede blev udtrykket af koefficienter af et polynomium i form af rødderne (ikke kun for positive rødder) først forstået af den franske matematiker Albert Girard fra det 17. århundrede; Hutton skriver:

… den første person, der forstod den generelle doktrin om dannelsen af potensernes koefficienter ud fra summen af rødderne og deres produkter. Han var den første, der opdagede reglerne for summering af potenserne af rødderne i enhver ligning.

I denne forbindelse er diskriminanten en symmetrisk funktion i rødderne, der afspejler egenskaber ved rødderne – den er nul, hvis og kun hvis polynomiet har en multipel rod, og for kvadratiske og kubiske polynomier er den positiv, hvis og kun hvis alle rødder er reelle og forskellige, og negativ, hvis og kun hvis der er et par af forskellige komplekse konjugerede rødder. Se Diskriminant:Røddernes art for nærmere oplysninger.

Den kubiske blev først delvist løst af den italienske matematiker Scipione del Ferro fra det 15.-16. århundrede, som dog ikke offentliggjorde sine resultater; denne metode løste dog kun én type af kubiske ligninger. Denne løsning blev derefter genopdaget uafhængigt i 1535 af Niccolò Fontana Tartaglia, som delte den med Gerolamo Cardano, idet han bad ham om ikke at offentliggøre den. Cardano udvidede derefter denne løsning til adskillige andre tilfælde ved hjælp af lignende argumenter; se flere detaljer på Cardanos metode. Efter opdagelsen af del Ferros arbejde mente han, at Tartaglias metode ikke længere var hemmelig, og derfor offentliggjorde han sin løsning i sin Ars Magna fra 1545. Hans elev Lodovico Ferrari løste det kvartiske polynomium; hans løsning blev også medtaget i Ars Magna. I denne bog gav Cardano imidlertid ikke en “generel formel” for løsningen af en kubisk ligning, da han hverken havde komplekse tal til rådighed eller den algebraiske notation til at kunne beskrive en generel kubisk ligning. Med fordel af moderne notation og komplekse tal fungerer formlerne i denne bog i det generelle tilfælde, men det vidste Cardano ikke. Det var Rafael Bombelli, der formåede at forstå, hvordan man arbejder med komplekse tal for at løse alle former for kubiske ligninger.

Et yderligere skridt var 1770-opgaven Réflexions sur la résolution algébrique des équations af den fransk-italienske matematiker Joseph Louis Lagrange i hans metode Lagrange resolvents, hvor han analyserede Cardanos og Ferraris løsning af kubiske og kvartiske ligninger ved at betragte dem i form af permutationer af rødderne, hvilket gav et hjælpepolynom af lavere grad, hvilket gav en forenet forståelse af løsningerne og lagde grunden til gruppeteori og Galois’ teori. Afgørende er dog, at han ikke overvejede sammensætning af permutationer. Lagranges metode kunne ikke udvides til quintiske ligninger eller højere, fordi resolventen havde højere grad.

Den quintiske blev næsten bevist, at den ikke har nogen generelle løsninger ved hjælp af radikaler af Paolo Ruffini i 1799, hvis centrale indsigt var at bruge permutationsgrupper og ikke blot en enkelt permutation. Hans løsning indeholdt et hul, som Cauchy betragtede som mindre vigtigt, men dette blev ikke udbedret før den norske matematiker Niels Henrik Abel, som offentliggjorde et bevis i 1824 og dermed etablerede Abel-Ruffini-sætningen.

Mens Ruffini og Abel fastslog, at den generelle quintic ikke kunne løses, kan nogle særlige quintics løses, f.eks. x5 – 1 = 0, og det præcise kriterium, hvormed et givet quintic eller højere polynomium kunne bestemmes til at være opløseligt eller ej, blev givet af Évariste Galois, som viste, at hvorvidt et polynomium var opløseligt eller ej var ækvivalent med, om permutationsgruppen af dets rødder – i moderne termer, dets Galois-gruppe – havde en bestemt struktur – i moderne termer, om det var en opløselig gruppe eller ej. Denne gruppe var altid opløselig for polynomier af fjerde grad eller derunder, men ikke altid for polynomier af femte grad og derover, hvilket forklarer, hvorfor der ikke findes nogen generel løsning i højere grader.

Galois’ skrifterRediger

Et portræt af Évariste Galois i en alder af ca. 15 år

I 1830 indsendte Galois (i en alder af 18 år) til Paris’ videnskabsakademi et memoir om sin teori om opløselighed ved radikaler; Galois’ papir blev i sidste ende afvist i 1831 som værende for skitseagtig og for at give en betingelse i form af ligningens rødder i stedet for dens koefficienter. Galois døde derefter i en duel i 1832, og hans papir, “Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux”, forblev upubliceret indtil 1846, hvor det blev udgivet af Joseph Liouville ledsaget af nogle af hans egne forklaringer. Forud for denne udgivelse meddelte Liouville Galois’ resultat til Akademiet i en tale, som han holdt den 4. juli 1843. Ifølge Allan Clark “overgår Galois’ karakteristik “dramatisk Abels og Ruffinis arbejde.”

EfterspilRediger

Galois’ teori var notorisk vanskelig for hans samtidige at forstå, især på et niveau, hvor de kunne uddybe den. For eksempel gik Liouville i sin kommentar fra 1846 helt glip af den gruppeteoretiske kerne i Galois’ metode. Joseph Alfred Serret, som deltog i nogle af Liouvilles foredrag, medtog Galois’ teori i sin lærebog Cours d’algèbre supérieure fra 1866 (tredje udgave). Serrets elev, Camille Jordan, havde en endnu bedre forståelse, som afspejles i hans bog Traité des substitutions et des équations algébriques fra 1870. Uden for Frankrig forblev Galois’ teori mere uigennemskuelig i en længere periode. I Storbritannien kunne Cayley ikke forstå dens dybde, og de populære britiske algebra-lærebøger nævnte ikke engang Galois’ teori før langt efter århundredeskiftet. I Tyskland fokuserede Kroneckers skrifter mere på Abels resultat. Dedekind skrev kun lidt om Galois’ teori, men holdt foredrag om den i Göttingen i 1858, hvilket viste en meget god forståelse. Eugen Nettos bøger fra 1880’erne, der var baseret på Jordans Traité, gjorde Galois-teorien tilgængelig for et bredere tysk og amerikansk publikum, ligesom Heinrich Martin Webers algebra-lærebog fra 1895.