Differentialgeometri

Differentialgeometri, gren af matematikken, der studerer geometrien af kurver, overflader og manifolder (de højere dimensionelle analoger af overflader). Disciplinen skylder sit navn til sin brug af ideer og teknikker fra differentialregning, selvom det moderne fag ofte bruger algebraiske og rent geometriske teknikker i stedet. Selv om de grundlæggende definitioner, notationer og analytiske beskrivelser varierer meget, er følgende geometriske spørgsmål fremherskende: Hvordan måler man krumningen af en kurve i en overflade (intrinsisk) i forhold til krumningen i det omgivende rum (extrinsisk)? Hvordan kan man måle krumningen af en overflade? Hvad er den korteste vej inden for en overflade mellem to punkter på overfladen? Hvordan hænger den korteste vej på en flade sammen med begrebet en ret linje?

Britannica Quiz

All About Math Quiz

Din algebra-lærer havde ret. Du vil bruge matematik efter eksamen – til denne quiz! Se, hvad du kan huske fra skolen, og lær måske et par nye fakta i processen.

Som kurver var blevet studeret siden antikken, åbnede opdagelsen af regnearket i det 17. århundrede op for studiet af mere komplicerede plane kurver – som dem, der blev fremstillet af den franske matematiker René Descartes (1596-1650) med sit “kompas” (se Geometriens historie: Cartesiansk geometri). Især integralregning førte til generelle løsninger på de gamle problemer med at finde buelængden af plane kurver og arealet af plane figurer. Dette åbnede igen op for undersøgelsen af kurver og overflader i rummet – en undersøgelse, der var starten på differentialgeometrien.

Nogle af de grundlæggende idéer i differentialgeometrien kan illustreres ved hjælp af strake, en spiralformet strimmel, der ofte er designet af ingeniører til at give strukturel støtte til store metalcylindre som f.eks. skorstene. En strake kan dannes ved at skære en ringformet strimmel (området mellem to koncentriske cirkler) fra en flad stålplade og derefter bøje den til en spiral, der spiralerer rundt om cylinderen, som illustreret i figuren. Hvor stor skal ringens radius r være for at opnå den bedste tilpasning? Differentialgeometri leverer løsningen på dette problem ved at definere et præcist mål for krumningen af en kurve; derefter kan r justeres, indtil krumningen af ringens inderkant passer til spiralens krumning.

Et vigtigt spørgsmål er fortsat: Kan den ringformede strimmel bøjes uden at strække sig, så den danner en strake omkring cylinderen? Det betyder især, at afstande målt langs overfladen (intrinsisk) er uændrede. To overflader siges at være isometriske, hvis den ene kan bøjes (eller omdannes) til den anden uden at ændre de intrinsiske afstande. (Fordi et ark papir f.eks. kan rulles til et rør uden at strække sig, er arket og røret “lokalt” isometrisk – kun lokalt, fordi der skabes nye og muligvis kortere ruter ved at forbinde de to kanter af papiret). Det andet spørgsmål bliver således: Er den ringformede strimmel og strædet isometrisk? For at besvare dette og lignende spørgsmål udviklede differentialgeometrien begrebet krumning af en overflade.