Articles /

Barycentriske koordinater

I slutningen af diskussionen om Cevas sætning kom vi frem til den konklusion, at der for ethvert punkt K inden for ΔABC findes tre masser wA, wB og wC, som, hvis de placeres på de tilsvarende hjørner af trekanten, har deres tyngdepunkt (barycenter) sammenfaldende med punktet K. August Ferdinand Moebius (1790-1868) definerede (1827) wA, wB og wC som de barycentriske koordinater for K. (Det er muligt at generalisere og også at overveje negative masser for punkter uden for trekanten. Dette er ikke nødvendigt for mit formål). Som de er defineret, er de barycentriske koordinater ikke entydige. Masserne kwA, kwB og kwC har nøjagtig samme barycentrum for ethvert k > 0. De barycentriske koordinater er således en form for generelle homogene koordinater, som anvendes i mange grene af matematikken (og endda computergrafik). Med en ekstra betingelse

(*) wA + wB + wC = 1

er de barycentriske koordinater defineret entydigt for hvert punkt i trekanten. (Barycentriske koordinater, der opfylder (*), er kendt som arealkoordinater, fordi vægtene w, hvis man antager, at arealet af ΔABC er 1, er lig med arealerne af trekanterne KBC, KAC og KAB). Da tyngdepunktet for to punkter ligger på det forbindende segment, er wA = 0 for punkter på BC, wB = 0 for punkter på AC og wC = 0 for punkter på AB. Koten A,B,C har henholdsvis koordinaterne (1,0,0,0), (0,1,0) og (0,0,1).

Den sædvanlige måde at definere barycentret for tre punkter med givne masser (lad os kalde sådanne punkter for materiale) er først at placere summen af masserne for to vilkårlige punkter i deres barycenter. Gentag nu den samme (1-dimensionale) operation ved at parre det nye og det tredje tilbageværende punkt. (Argumentet er formaliseret inden for affin geometri. Jeg foretrækker at holde diskussionen intuitiv). Hvis man antager (*), at hvis wA holdes fast, vil summen wB + wC også være det. Heraf følger, at for to mulige positioner D og D’ af barycentret for B og C, har vi DK/KA = wA/(wB + wC) = D’K’/K’A. Derfor er KK’ parallel til BC. Med andre ord beskriver ligningen wA = const de linjer, der er parallelle med BC. Som vi allerede har bemærket, er ligningen for BC wA = 0. En lignende sammenhæng eksisterer mellem wB og AC og wC og AB.

Hvis Mb og Mc er midtpunkterne for henholdsvis AC og AB, er ligningen for MbMc wA = 1/2. Tilsvarende gælder MaMc = {(wA, wB, wC): wB = 1/2} og MaMb = {(wA, wB, wC): wC = 1/2}.

Lad os kigge på diagrammet til højre. I den blå trekant er alle tre koordinater mindre end 1/2. Derfor er det første ciffer i deres binære repræsentation nul. I de røde trekanter er to koordinater mindre end 1/4, mens den tredje er mellem 1/2 og 3/4. Derfor har alle tre koordinater i de røde trekanter deres andet binære ciffer nul. Dette fører til tremafjernelsesproceduren til konstruktion af Sierpinski-pakningen og giver et fingerpeg om dens beskrivelse i de barycentriske koordinater.

Barycentriske koordinater opstår naturligt, når variable størrelser har en konstant sum. Treglasproblemet, hvor vi hælder vand fra et glas til et andet under den urealistiske antagelse, at der i processen ikke bliver spildt nogen dråbe vand, er et markant eksempel herpå. Problemet illustrerer på smukkeste vis begrebet barycentriske koordinater.

Barycenter og barycentriske koordinater

  1. 3D-kvadrilateral – et kisteproblem
  2. Barycentriske koordinater
  3. Barycentriske koordinater: Et værktøj
  4. Barycentriske koordinater og geometrisk sandsynlighed
    • Pind brudt i tre stykker (trilineære koordinater)
    • Pind brudt i tre stykker (kartesiske koordinater)
  5. Cevas sætning
  6. Determinanter, areal, og barycentriske koordinater
  7. Maxwell-sætning via tyngdepunktet
  8. Bimedianer i en firkant
  9. Samtidig generalisering af Cevas og Menelaos’ sætninger
    • Cevas og Menelaos’ sætninger, en illustreret generalisering
  10. Tre glas puslespil
  11. Van Obel-sætningen og barycentriske koordinater
  12. 1961 IMO, problem 4. En øvelse i barycentriske koordinater
  13. Centroider i polygon
  14. Tyngdepunkt og bevægelse af materielle punkter
  15. Isotomisk reciprocitet
  16. En affin Barycentrets egenskab
  17. Problem i direkte lighed
  18. Cirkler i barycentriske koordinater
  19. Barycentret i en cevianisk trekant
  20. Sammenfaldende kordner i en cirkel, Lige skråt

|Kontakt||Forside||Indhold||Geometri|

Leave a Reply