Teorie homotopie

Prostory a mapyEdit

V teorii homotopie a algebraické topologii slovo „prostor“ označuje topologický prostor. Abychom se vyhnuli patologiím, málokdy pracujeme s libovolnými prostory; místo toho vyžadujeme, aby prostory splňovaly další omezení, například aby byly kompaktně generované nebo Hausdorffovy nebo aby byly CW komplexem.

Ve stejném duchu jako výše je „mapa“ spojitá funkce, případně s nějakými dalšími omezeními.

Často se pracuje s bodovým prostorem — to znamená s prostorem s „rozlišovacím bodem“, který se nazývá základní bod. Špičatá mapa je pak mapa, která zachovává bázové body; to znamená, že posílá bázový bod oboru do bázového bodu spoluoboru. Naproti tomu volná mapa je taková, která nemusí zachovávat bázové body.

HomotopyEdit

Nechť I označuje jednotkový interval. Rodina map indexovaných I, h t : X → Y {\displayystyle h_{t}:X\to Y}.

se nazývá homotopie z h 0 {\displaystyle h_{0}}.

do h 1 {\displaystyle h_{1}}

, jestliže h : I × X → Y , ( t , x ) ↦ h t ( x ) {\displaystyle h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}

je mapa (např. musí to být spojitá funkce). Jsou-li X, Y špičaté prostory, je h t {\displayyle h_{t}}

musí zachovávat základní body. Homotopii lze ukázat jako relaci ekvivalence. Je dán špičatý prostor X a celé číslo n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}.

, nechť π n ( X ) = ∗ {\displaystyle \pi _{n}(X)=_{*}}.

jsou třídy homotopií založených map S n → X {\displaystyle S^{n}\do X}

z (špičaté) n-sféry S n {\displaystyle S^{n}}

do X. Jak se ukazuje, π n ( X ) {\displaystyle \pi _{n}(X)}

jsou grupy; zejména π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)}

se nazývá fundamentální grupa X.

Pokud se místo s bodovým prostorem raději pracuje s prostorem, existuje pojem fundamentální grupoid (a vyšší varianty): podle definice je fundamentální grupoid prostoru X kategorie, kde objekty jsou body X a morfismy jsou cesty.

Kofibrace a fibraceUpravit

Mapa f : A → X {\displayystyle f:A\to X}

se nazývá kofibrace, je-li dána (1) mapa h 0 : X → Z {\displaystyle h_{0}:X\to Z}

a (2) homotopii g t : A → Z {\displaystyle g_{t}:A\to Z}

, existuje homotopie h t : X → Z {\displaystyle h_{t}:X\to Z}

, která rozšiřuje h 0 {\displaystyle h_{0}}

a takové, že h t ∘ f = g t {\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}

. V jistém volném smyslu se jedná o analogii definičního diagramu injekčního modulu v abstraktní algebře. Nejzákladnějším příkladem je dvojice CW ( X , A ) {\displaystyle (X,A)}

; protože mnozí pracují pouze s CW komplexy, je pojem kofibrace často implicitní.

Fibrace v Serrově smyslu je duální pojem kofibrace: tj. mapa p : X → B {\displaystyle p:X\to B}.

je fibrace, jestliže je dána (1) mapa Z → X {\displaystyle Z\to X}

a (2) homotopie g t : Z → B {\displaystyle g_{t}:Z\to B}

, existuje homotopie h t : Z → X {\displaystyle h_{t}:Z\to X}

taková, že h 0 {\displaystyle h_{0}}

je dané a p ∘ h t = g t {\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}.

. Základním příkladem je krycí mapa (fibrace je vlastně zobecněním krycí mapy). Jestliže E {\displayystyle E}

je hlavní svazek G, tj. prostor s volnou a tranzitivní (topologickou) grupovou akcí (topologické) grupy, pak projekční mapa p : E → X {\displayystyle p:E\to X}

je příkladem fibrace.

Klasifikační prostory a homotopické operaceUpravit

Podle topologické grupy G je klasifikačním prostorem pro hlavní svazky G („the“ až do ekvivalence) prostor B G {\displaystyle BG}.

takový, že pro každý prostor X, = {\displaystyle =}

{ hlavní svazek G na X } / ~ , ↦ f ∗ E G {\displaystyle ,\,\,\mapsto f^{*}EG}

kde

• levá strana je množina tříd homotopie map X → B G {\displaystyle X\to BG}
  

  ,

• ~ se týká izomorfismu svazků a
• = je dáno zpětným vytažením rozlišeného svazku E G {\displaystyle EG}
  

  na B G {\displaystyle BG}.

  

  (tzv. univerzální svazek) podél mapy X → B G {\displaystyle X\to BG}.

  

  .

Brownova věta o reprezentovatelnosti zaručuje existenci klasifikujících prostorů.

Spektrum a zobecněná kohomologieUpravit

Myšlenku, že klasifikující prostor klasifikuje hlavní svazky, lze posunout dále. Můžeme se například pokusit klasifikovat kohomologické třídy: je dána abelická grupa A (například Z {\displaystyle \mathbb {Z}). }

), = H n ( X ; A ) {\displaystyle =\operatorname {H} ^{n}(X;A)}

kde K ( A , n ) {\displaystyle K(A,n)}

je Eilenbergův-MacLaneův prostor. Výše uvedená rovnice vede k pojmu zobecněné teorie kohomologie; tj. ke kontravariantnímu funktoru z kategorie prostorů do kategorie abelických grup, který splňuje axiomy zobecňující běžnou teorii kohomologie. Jak se ukázalo, takový funktor nemusí být reprezentovatelný prostorem, ale vždy jej lze reprezentovat posloupností (špičatých) prostorů se strukturními mapami zvanými spektrum. Jinými slovy, podat zobecněnou teorii kohomologie znamená podat spektrum.

Základním příkladem spektra je spektrum koule: S 0 → S 1 → S 2 → ⋯ {\displayystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots }