Mathematics for the Liberal Arts

Výstupy z učení

  • Definice a identifikace soběpodobnosti v geometrických tvarech, rostlinách, a geologických útvarů
  • Vygenerovat fraktální tvar daný iniciátorem a generátorem
  • Škálovat geometrický objekt určitým škálovacím faktorem pomocí vztahu pro škálovací rozměr
  • Určit fraktální rozměr fraktálního objektu

Kromě vizuální soběpodobnosti vykazují fraktály i další zajímavé vlastnosti. Všimněte si například, že každý krok iterace Sierpińského těsnění odstraní jednu čtvrtinu zbývající plochy. Kdybychom v tomto procesu pokračovali donekonečna, skončili bychom v podstatě s odstraněním celé plochy, což znamená, že jsme začali s dvourozměrnou plochou a nějakým způsobem skončili s něčím menším, ale zdánlivě větším než jen s jednorozměrnou čarou.

Abychom mohli tuto myšlenku prozkoumat, musíme probrat rozměr. Něco jako přímka je jednorozměrné; má pouze délku. Jakákoli křivka je jednorozměrná. Věci jako krabice a kružnice jsou dvojrozměrné, protože mají délku a šířku a popisují plochu. Předměty jako krabice a válce mají délku, šířku a výšku, popisují tedy objem a jsou trojrozměrné.

Mezi jednorozměrné předměty patří přímka a nepravidelná vlnovka. Mezi 2rozměrné objekty patří obdélník, trojúhelník a kruh. Mezi 3rozměrné objekty patří krychle a válec.

Pro škálování objektů platí určitá pravidla související s jejich rozměry.

Pokud bych měl přímku o délce 1 a chtěl její délku škálovat o 2, potřeboval bych dvě kopie původní přímky. Kdybych měl čáru o délce 1 a chtěl její délku škálovat o 3, potřeboval bych tři kopie původní čáry.

1, vodorovná čára. 2, vodorovnou čáru dvakrát delší. 3, vodorovná čára třikrát delší.

Pokud bych měl obdélník o délce 2 a výšce 1 a chtěl bych jeho délku a šířku škálovat o 2, potřeboval bych čtyři kopie původního obdélníku. Kdybych chtěl jeho délku a šířku zvětšit o 3, potřeboval bych devět kopií původního obdélníku.

Obdélník se stranami o rozměrech 1 a 2. Obdélník se stranami o rozměrech 1 a 2. Dále čtyři kopie tohoto obdélníku, které vytvoří větší obdélník se stranami o rozměrech 2 a 4. Dále devět kopií prvního obdélníku, které vytvoří větší obdélník se stranami o rozměrech 3 a 6.

Pokud bych měl krychlový box se stranami o délce 1 a chtěl bych jeho délku a šířku zvětšit o 2, potřeboval bych osm kopií původní krychle. Kdybych chtěl její délku a šířku zvětšit o 3, potřeboval bych 27 kopií původní krychle.

Krychle se stranami o rozměrech 1 na 1 na 1. Dále osm kopií této krychle, abych vytvořil větší krychli se stranami o rozměrech 2 na 2 na 2. Dále 27 kopií původní krychle, abych vytvořil větší krychli o rozměrech 3 na 3 na 3.

Všimněte si, že v jednorozměrném případě jsou potřebné kopie = měřítko.

V dvourozměrném případě jsou potřebné kopie = měřítko^{2}.

V třírozměrném případě jsou potřebné kopie = měřítko^{3}.

Z těchto příkladů můžeme odvodit vzorec.

Vztah mezi měřítkem a rozměrem

Chceme-li měnit měřítko D-rozměrného tvaru o měřítkový faktor S, bude počet potřebných kopií C původního tvaru dán vztahem:

\text{Kopie}=\text{Škála}^{\text{Rozměr}}, neboli C=S^{D}

Příklad

Pro určení rozměru Sierpinského těsnění použijte vztah měřítko-rozměr.

Předpokládejme, že jsme definovali původní těsnění o délce strany 1. Zobrazené větší těsnění je dvakrát širší a dvakrát vyšší, bylo tedy zmenšeno koeficientem 2.

Trojúhelník Sierpinskiho těsnění. Dále větší trojúhelník složený ze tří trojúhelníků Sierpińského těsnění a bílého trojúhelníku uprostřed.

Všimněte si, že k sestrojení většího těsnění jsou potřeba 3 kopie původního těsnění.

Pomocí vztahu měřítko-rozměr C=S^{D} dostaneme rovnici 3=2^{D}.

Protože 2^{1}=2 a 2^{2}=4, okamžitě vidíme, že D je někde mezi 1 a 2; těsnění je více než jednorozměrný útvar, ale odebrali jsme mu tolik plochy, že je nyní méně než dvourozměrný.

Řešení rovnice 3=2^{D} vyžaduje logaritmy. Pokud jste se o logaritmech učili dříve, možná si vzpomenete, jak tuto rovnici řešit (pokud ne, stačí přeskočit na rámeček níže a použít tento vzorec s klávesou log na kalkulačce):

Vezměte logaritmus obou stran.

3={{2}^{D}}

Použijte exponentovou vlastnost logaritmů.

\log(3)=\log\left({{2}^{D}}\right)

Dělte log(2).

\log(3)=D\log\levá(2\pravá)

Rozměr těsnění je přibližně 1,585.

D=\frac{\log\levá(3\pravá)}{\log(2)}\aprox1.585

Závislost škálování a rozměru, zjištění rozměru

Chcete-li zjistit rozměr D fraktálu, určete faktor škálování S a počet potřebných kopií C původního tvaru, pak použijte vzorec

D=\frac{\log\left(C\right)}{\log(S)}

Zkuste to

Zjistěte fraktální rozměr fraktálu vytvořeného pomocí iniciátoru a generátoru.

Iniciátor je čtverec. Generátor je pět čtverců tvořících šachovnicový vzor.
Zobrazit řešení

Zvětšení fraktálu na trojnásobek vyžaduje 5 kopií originálu.

D=\frac{\text{log}\left(5\right)}{\text{log}\left(3\right)}\aprox1,465

Na následujícím videu uvádíme praktický příklad, jak určit rozměr Sierpinského těsnění

.

Leave a Reply