Hypotéza kontinua

Přečtěte si další informace k tomuto tématu

Teorie množin: Kardinalita a transfinitní čísla

…domněnka známá jako hypotéza kontinua.

V Cantorově zápisu lze hypotézu kontinua vyjádřit jednoduchou rovnicí 2ℵ0 = ℵ1, kde ℵ0 je kardinální číslo nekonečné spočetné množiny (například množiny přirozených čísel) a kardinální čísla větších „dobře uspořádaných množin“ jsou ℵ1, ℵ2, …, ℵα, …, indexované ordinálními čísly. Lze ukázat, že kardinalita kontinua je rovna 2ℵ0; hypotéza kontinua tedy vylučuje existenci množiny velikosti mezilehlé mezi přirozenými čísly a kontinuem.

Silnějším tvrzením je zobecněná hypotéza kontinua (GCH): 2ℵα = ℵα + 1 pro každé ordinální číslo α. Polský matematik Wacław Sierpiński dokázal, že pomocí GCH lze odvodit axiom volby.

Stejně jako u axiomu volby dokázal americký matematik rakouského původu Kurt Gödel v roce 1939, že pokud jsou ostatní standardní Zermelo-Fraenkelovy axiomy (ZF; viz ) konzistentní, pak nevyvracejí hypotézu kontinua, a dokonce ani GCH. To znamená, že výsledek přidání GCH k ostatním axiomům zůstává konzistentní. V roce 1963 pak americký matematik Paul Cohen doplnil obraz tím, že opět za předpokladu, že ZF jsou konzistentní, ukázal, že ZF nevedou k důkazu hypotézy kontinua.

Protože ZF nedokazuje ani nevyvrací hypotézu kontinua, zůstává otázka, zda přijmout hypotézu kontinua na základě neformálního pojetí toho, co jsou množiny. Obecná odpověď v matematické komunitě byla záporná: hypotéza kontinua je omezující tvrzení v kontextu, kde není znám žádný důvod pro zavedení omezení. V teorii množin přiřazuje operace mocninné množiny každé množině kardinality ℵα její množinu všech podmnožin, která má kardinalitu 2ℵα. Zdá se, že není žádný důvod ukládat omezení na množství podmnožin, které může mít nekonečná množina

.