Homomorfismus

Několik druhů homomorfismů má specifický název, který je definován i pro obecné morfismy.

IzomorfismusUpravit

Izomorfismus mezi algebraickými strukturami stejného typu je běžně definován jako bijektivní homomorfismus.:134 :28

V obecnějším kontextu teorie kategorií je izomorfismus definován jako morfismus, který má inverzi, jež je také morfismem. V konkrétním případě algebraických struktur jsou obě definice ekvivalentní, i když se mohou lišit pro nealgebraické struktury, které mají základní množinu.

Přesněji řečeno, jestliže

f : A → B {\displayystyle f:A\to B}

{\displaystyle f:A\to B}

je (homo)morfismus, má inverzní tvar, jestliže existuje homomorfismus

g : B → A {\displaystyle g:B\to A}

{\displaystyle g:B\to A}

takový, že

f ∘ g = Id B a g ∘ f = Id A . {\displaystyle f\circ g=\operátorname {Id} . _{B}\qquad {\text{a}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}

{\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{a}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}

If A {\displaystyle A}

A

a B {\displaystyle B}

B

mají základní množiny a f : A → B {\displaystyle f:A\to B}

f:A\to B

má inverzní g {\displaystyle g}

g

, pak f {\displaystyle f}

f

je bijektivní. Ve skutečnosti f {\displaystyle f}

f

je injektivní, protože f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)}

f(x)=f(y)

znamená x = g ( f ( x ) ) = g ( f ( y ) ) = y {\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}

{\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}

, a f {\displaystyle f}

f

je surjektivní, protože pro libovolné x {\displaystyle x}

x

v B {\displaystyle B}.

B

, máme x = f ( g ( x ) ) {\displaystyle x=f(g(x))}

{\displaystyle x=f(g(x))}

a x {\displaystyle x}

x

je obraz prvku A {\displaystyle A}

A

.

Obráceně, jestliže f : A → B {\displaystyle f:A\to B}

f:A\to B

je bijektivní homomorfismus mezi algebraickými strukturami, nechť g : B → A {\displaystyle g:B\to A}.

{\displaystyle g:B\to A}

je mapa taková, že g ( y ) {\displaystyle g(y)}

g(y)

je jedinečný prvek x {\displaystyle x}

x

z A {\displaystyle A}

A

takový, že f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y}

{\displaystyle f(x)=y}

. Máme f ∘ g = Id B a g ∘ f = Id A , {\displaystyle f\circ g=\operátorname {Id}. _{B}{\text{ a }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}

{\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ a }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}

a zbývá jen ukázat, že g je homomorfismus. Jestliže ∗ {\displaystyle *}

*

je binární operace struktury, pro každou dvojici x {\displaystyle x}

x

, y {\displaystyle y}

y

prvků B {\displaystyle B}

B

, máme g ( x ∗ B y ) = g ( f ( g ( x ) ). ∗ B f ( g ( y ) ) = g ( f ( g ( x ) ∗ A g ( y ) ) = g ( x ) ∗ A g ( y ) , {\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}

{\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}

a g {\displaystyle g}

g

je tedy kompatibilní s ∗ . {\displaystyle *.}

{\displaystyle *.}

Protože důkaz je podobný pro libovolnou aritu, ukazuje to, že g {\displaystyle g}

g

je homomorfismus.

Tento důkaz nefunguje pro nealgebraické struktury. Například pro topologické prostory je morfismus spojitá mapa a inverzní bijektivní spojitá mapa nemusí být nutně spojitá. Izomorfismus topologických prostorů, nazývaný homeomorfismus nebo bikontinuální mapa, je tedy bijektivní spojitá mapa, jejíž inverze je také spojitá.

EndomorfismusUpravit

Endomorfismus je homomorfismus, jehož doména se rovná kodoméně, nebo obecněji morfismus, jehož zdroj je roven cíli.:135

Endomorfismy algebraické struktury nebo objektu kategorie tvoří monoid pod kompozicí.

Endomorfismy vektorového prostoru nebo modulu tvoří prstenec. V případě vektorového prostoru nebo volného modulu konečné dimenze vyvolává volba báze kruhový izomorfismus mezi kruhem endomorfismů a kruhem čtvercových matic téže dimenze.

AutomorfismusEdit

Automorfismus je endomorfismus, který je zároveň izomorfismem.:135

Automorfismy algebraické struktury nebo objektu kategorie tvoří grupu při složení, která se nazývá grupa automorfismů struktury.

Mnoho grup, které dostaly jméno, jsou grupy automorfismů nějaké algebraické struktury. Například obecná lineární grupa GL n ( k ) {\displayystyle \operatorname {GL}. _{n}(k)}

{\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}

je grupa automorfismů vektorového prostoru dimenze n {\displaystyle n}

n

nad polem k {\displaystyle k}

k

.

Grupy automorfismů polí zavedl Évariste Galois pro studium kořenů polynomů a jsou základem Galoisovy teorie.

MonomorfismusUpravit

Pro algebraické struktury se monomorfismy běžně definují jako injektivní homomorfismy. 134 :29

V obecnějším kontextu teorie kategorií je monomorfismus definován jako morfismus, který je levostranně zrušitelný. To znamená, že (homo)morfismus f : A → B {\displaystyle f:A\to B}.

f:A \to B

je monomorfismus, jestliže pro libovolnou dvojici g {\displaystyle g}

g

, h {\displaystyle h}

h

morfismů z libovolného jiného objektu C {\displaystyle C}

C

do A {\displaystyle A}

A

, pak f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h}

f \circ g = f \circ h

znamená g = h {\displaystyle g=h}

g=h

.

Tyto dvě definice monomorfismu jsou ekvivalentní pro všechny běžné algebraické struktury. Přesněji řečeno, jsou ekvivalentní pro pole, pro něž je každý homomorfismus monomorfismem, a pro variety univerzální algebry, tj. algebraické struktury, pro něž jsou operace a axiomy (identity) definovány bez jakéhokoli omezení (pole nejsou variety, protože multiplikativní inverze je definována buď jako unární operace, nebo jako vlastnost násobení, které jsou v obou případech definovány pouze pro nenulové prvky).

Zejména obě definice monomorfismu jsou ekvivalentní pro množiny, magma, pologrupy, monoidy, grupy, kruhy, pole, vektorové prostory a moduly.

Dělený monomorfismus je homomorfismus, který má levou inverzi, a tedy je sám pravou inverzí tohoto jiného homomorfismu. To znamená, že homomorfismus f : A → B {\displayystyle f\colon A\to B}.

f\colon A \na B

je rozštěpený monomorfismus, jestliže existuje homomorfismus g : B → A {\displaystyle g\colon B\na A}

{\displaystyle g\colon B\to A}

takový, že g ∘ f = Id A . {\displaystyle g\circ f=\operátorname {Id} _{A}.}

{\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}

Rozdělený monomorfismus je vždy monomorfismem, a to pro oba významy monomorfismu. Pro množiny a vektorové prostory je každý monomorfismus rozštěpený monomorfismus, ale tato vlastnost neplatí pro většinu běžných algebraických struktur.

Důkaz ekvivalence obou definic monomorfismů

Injektivní homomorfismus je levostranně zrušitelný: Jestliže f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}

{\displaystyle f\circ g=f\circ h,}

máme f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ). {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

{\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

pro každé x {\displaystyle x}

x

v C {\displaystyle C}

C

, společný zdroj g {\displaystyle g}

g

a h {\displaystyle h}

h

. Jestliže f {\displaystyle f}

f

je injektivní, pak g ( x ) = h ( x ) {\displaystyle g(x)=h(x)}

{\displaystyle g(x)=h(x)}

, a tedy g = h {\displaystyle g=h}

g=h

. Tento důkaz funguje nejen pro algebraické struktury, ale i pro libovolnou kategorii, jejímiž objekty jsou množiny a šipky jsou mapy mezi těmito množinami. Například injektivní spojitá mapa je monomorfismus v kategorii topologických prostorů.

Pro důkaz, že naopak levostranný zrušitelný homomorfismus je injektivní, je užitečné uvažovat volný objekt na x {\displaystyle x}

x

. Při dané rozmanitosti algebraických struktur je volný objekt na x {\displaystyle x}

x

dvojice sestávající z algebraické struktury L {\displaystyle L}

L

této variety a prvku x {\displaystyle x}

x

z L {\displaystyle L}

L

splňující následující univerzální vlastnost: pro každou strukturu S {\displaystyle S}

S

variety a každý prvek s {\displaystyle s}

s

z S {\displaystyle S}

S

, existuje jedinečný homomorfismus f : L → S {\displaystyle f:L\to S}

{\displaystyle f:L\to S}

takový, že f ( x ) = s {\displaystyle f(x)=s}

{\displaystyle f(x)=s}

. Například pro množiny je volný objekt na x {\displaystyle x}

x

jednoduše { x } {\displaystyle \{x\}}.

\{x\}

; pro pologrupy je volný objekt na x {\displaystyle x}

x

{ x , x 2 , … , x n , … }. , {\displaystyle \{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

{\displaystyle \{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

která je jako pologrupa izomorfní aditivní pologrupě kladných celých čísel; pro monoidy je volný objekt na x {\displayyle x}

x

{ 1 , x , x 2 , …. , x n , … } , {\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

{\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

, který je jako monoid izomorfní aditivnímu monoidu nezáporných celých čísel; pro grupy je volným objektem na x {\displayyle x}

x

nekonečná cyklická grupa { … , x – n , … , x – 1 , 1 , x , x 2 , … , x n , … }. , {\displaystyle \{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

{\displaystyle \{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

která je jako grupa izomorfní aditivní grupě celých čísel; pro kruhy je volným objektem na x {\displaystyle x}

x

} polynomický kruh Z ; {\displaystyle \mathbb {Z} ;}

{\displaystyle \mathbb {Z} ;}

pro vektorové prostory nebo moduly je volný objekt na x {\displaystyle x}

x

vektorový prostor nebo volný modul, který má x {\displaystyle x}

x

jako bázi.

Jestliže existuje volný objekt nad x {\displaystyle x}

x

, pak každý levostranný zrušitelný homomorfismus je injektivní: nechť f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}

f\colon A \to B

je levý zrušitelný homomorfismus a a {\displaystyle a}

a

a b {\displaystyle b}

b

jsou dva prvky A {\displaystyle A}.

A

takové f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)}

f(a) = f(b)

. Podle definice volného objektu F {\displaystyle F}

F

, existují homomorfismy g {\displaystyle g}.

g

a h {\displaystyle h}

h

z F {\displaystyle F}

F

do A {\displaystyle A}

A

takové, že g ( x ) = a {\displaystyle g(x)=a}

{\displaystyle g(x)=a}

a h ( x ) = b {\displaystyle h(x)=b}

{\displaystyle h(x)=b}

. Protože f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

{\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

, máme f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}

{\displaystyle f\circ g=f\circ h,}

podle jednoznačnosti v definici univerzální vlastnosti. Protože f {\displaystyle f}

f

je levostranně zrušitelný, máme g = h {\displaystyle g=h}.

g=h

, a tedy a = b {\displaystyle a=b}.

a=b

. Proto f {\displaystyle f}

f

je injektivní.

Existence volného objektu na x {\displaystyle x}

x

pro variety (viz též Volný objekt § Existence): Pro sestrojení volného objektu nad x {\displaystyle x}

x

, uvažujme množinu W {\displaystyle W}

W

dobře utvořených formulí sestavených z x {\displaystyle x}

x

a operací této struktury. O dvou takových formulích se říká, že jsou ekvivalentní, jestliže z jedné lze přejít do druhé použitím axiomů (identit struktury). Tím je definována relace ekvivalence, pokud identity nepodléhají podmínkám, tedy pokud se pracuje s varietou. Pak jsou operace variety dobře definovány na množině tříd ekvivalence W {\dispozice W}.

W

pro tuto relaci. Je snadné ukázat, že výsledný objekt je volný objekt na W {\displaystyle W}.

W

.

EpimorfismusUpravit

V algebře se epimorfismy často definují jako surjektivní homomorfismy. 134:43 Na druhé straně v teorii kategorií se epimorfismy definují jako pravotočivé morfismy. To znamená, že (homo)morfismus f : A → B {\displayystyle f:A\to B}

f:A\to B

je epimorfismus, jestliže pro libovolnou dvojici g {\displaystyle g}

g

, h {\displaystyle h}

h

morfismů z B {\displaystyle B}

B

na libovolný jiný objekt C {\displaystyle C}

C

, rovnost g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}

g \circ f = h \circ f

znamená g = h {\displaystyle g=h}

g=h

.

Surjektivní homomorfismus je vždy pravostranně zrušitelný, ale pro algebraické struktury neplatí vždy opak. Obě definice epimorfismu jsou však ekvivalentní pro množiny, vektorové prostory, abelovské grupy, moduly (důkaz viz níže) a grupy. Význam těchto struktur v celé matematice, a zvláště v lineární algebře a homologické algebře, může vysvětlit koexistenci dvou neekvivalentních definic.

Mezi algebraické struktury, pro které existují nesurjektivní epimorfismy, patří pologrupy a prstence. Nejzákladnějším příkladem je inkluze celých čísel do racionálních čísel, což je homomorfismus kruhů a multiplikativních pologrup. Pro obě struktury je to monomorfismus a nesurjektivní epimorfismus, ale nikoli izomorfismus.

Široké zobecnění tohoto příkladu je lokalizace kruhu multiplikativní množinou. Každá lokalizace je kruhový epimorfismus, který obecně není surjektivní. Vzhledem k tomu, že lokalizace mají zásadní význam v komutativní algebře a algebraické geometrii, lze tím vysvětlit, proč se v těchto oblastech obecně dává přednost definici epimorfismů jako pravotočivých homomorfismů.

Dělený epimorfismus je homomorfismus, který má pravotočivou inverzi, a je tedy sám levotočivou inverzí tohoto jiného homomorfismu. To znamená, že homomorfismus f : A → B {\displayystyle f\colon A\to B}.

f\colon A \do B

je rozštěpený epimorfismus, jestliže existuje homomorfismus g : B → A {\displaystyle g\colon B\do A}

{\displaystyle g\colon B\to A}

takový, že f ∘ g = Id B . {\displaystyle f\circ g=\operátorname {Id} _{B}.}

{\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}

Rozdělený epimorfismus je vždy epimorfismem, a to pro oba významy epimorfismu. Pro množiny a vektorové prostory je každý epimorfismus rozštěpený epimorfismus, ale tato vlastnost neplatí pro většinu běžných algebraických struktur.

Shrnuto, máme

rozštěpený epimorfismus ⟹ epimorfismus (surjektivní) ⟹ epimorfismus (pravostranný) ; {\displaystyle {\text{rozštěpený epimorfismus}}\implies {\text{epimorfismus (surjektivní)}}\implies {\text{epimorfismus (pravostranný)}};}

{\displaystyle {\text{rozštěpený epimorfismus}}\implikuje {\text{epimorfismus (surjektivní)}}\implikuje {\text{epimorfismus (pravostranný)}};}

poslední implikace je ekvivalence pro množiny, vektorové prostory, moduly a abelovské grupy; první implikace je ekvivalence pro množiny a vektorové prostory.

Ekvivalence dvou definic epimorfismu

Nechť f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}

f\colon A \to B

je homomorfismus. Chceme dokázat, že pokud není surjektivní, není pravostranně zrušitelný.

V případě množin nechť b {\displaystyle b}

b

je prvek B {\displaystyle B}.

B

, který nepatří do f ( A ) {\displaystyle f(A)}

f(A)

, a definujte g , h : B → B {\displaystyle g,h\colon B\to B}

{\displaystyle g,h\colon B\to B}

takové, že g {\displaystyle g}

g

je funkce identity a že h ( x ) = x {\displaystyle h(x)=x}

{\displaystyle h(x)=x}

pro každé x ∈ B , {\displaystyle x\v B,}

{\displaystyle x\v B,}

kromě toho, že h ( b ) {\displaystyle h(b)}

{\displaystyle h(b)}

je jakýkoli jiný prvek B {\displaystyle B}

B

. Je zřejmé, že f {\displaystyle f}

f

není pravostranně zrušitelný, protože g ≠ h {\displaystyle g\neq h}.

{\displaystyle g\neq h}

a g ∘ f = h ∘ f . {\displaystyle g\circ f=h\circ f.}

{\displaystyle g\circ f=h\circ f.}

V případě vektorových prostorů, abelických grup a modulů se důkaz opírá o existenci kokernelů a o to, že nulové mapy jsou homomorfismy: nechť C {\displaystyle C}

C

je kokernel f {\displaystyle f}

f

a g : B → C {\displaystyle g\colon B\to C}

{\displaystyle g\colon B\to C}

je kanonická mapa taková, že g ( f ( A ) ) = 0 {\displaystyle g(f(A))=0}.

{\displaystyle g(f(A))=0}

. Nechť h : B → C {\displaystyle h\colon B\to C}

{\displaystyle h\colon B\to C}

je nulová mapa. Jestliže f {\displaystyle f}

f

není surjektivní, C ≠ 0 {\displaystyle C\neq 0}

{\displaystyle C\neq 0}

, a proto g ≠ h {\displaystyle g\neq h}

{\displaystyle g\neq h}

(jedna je nulová mapa, zatímco druhá ne). Tedy f {\displaystyle f}

f

není zrušitelný, protože g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}.

g \circ f = h \circ f

(obojí je nulová mapa z A {\displaystyle A}

A

do C {\displaystyle C}

C

).

Leave a Reply