Homeomorfismus

Topologický prostor

Jedním ze základních strukturálních pojmů v topologii je přeměna množiny X na topologický prostor zadáním množiny podmnožin T množiny X. Taková množina musí splňovat tři axiomy: (1) množina X sama a prázdná množina jsou členy T, (2) průnik libovolného konečného počtu množin v T je v T a (3) sjednocení libovolné množiny v T je v T. Množiny v T se nazývají otevřené množiny a T se nazývá topologie na X. Například přímka reálných čísel se stává topologickým prostorem, když je její topologie určena jako množina všech možných sjednocení otevřených intervalů – například (-5, 2), (1/2, π), (0, odmocnina z√2), …. (Analogickým postupem vzniká topologie metrického prostoru.) Další příklady topologií množin se vyskytují čistě z hlediska teorie množin. Například množina všech podmnožin množiny X se nazývá diskrétní topologie na X a množina sestávající pouze z prázdné množiny a samotného X tvoří indiskrétní neboli triviální topologii na X. Z daného topologického prostoru vznikají další příbuzné topologické prostory. Například podmnožina A topologického prostoru X dědí topologii, nazývanou relativní topologie, z X, když se otevřené množiny A považují za průsečíky A s otevřenými množinami X. Obrovská rozmanitost topologických prostorů poskytuje bohatý zdroj příkladů pro motivaci obecných tvrzení, stejně jako protipříkladů pro demonstraci nesprávných domněnek. Obecnost axiomů pro topologický prostor navíc umožňuje matematikům nahlížet na mnoho druhů matematických struktur, například na soubory funkcí v analýze, jako na topologické prostory, a tím nově vysvětlovat související jevy.

Topologický prostor může být také definován alternativním souborem axiomů zahrnujícím uzavřené množiny, které jsou doplňky otevřených množin. V raných úvahách o topologických myšlenkách, zejména pro objekty v n-rozměrném euklidovském prostoru, vznikly uzavřené množiny přirozeně při zkoumání konvergence nekonečných posloupností (viz nekonečné řady). Často je vhodné nebo užitečné předpokládat pro topologii další axiomy, aby bylo možné stanovit výsledky, které platí pro významnou třídu topologických prostorů, ale ne pro všechny topologické prostory. Jeden takový axiom vyžaduje, aby dva různé body patřily do nesouvislých otevřených množin. Topologický prostor splňující tento axiom se začal nazývat Hausdorffův prostor

.