Hilbertův prostor

Hilbertův prostor, v matematice příklad nekonečně rozměrného prostoru, který měl velký vliv na analýzu a topologii. Německý matematik David Hilbert tento prostor poprvé popsal ve svých pracích o integrálních rovnicích a Fourierových řadách, které zaměstnávaly jeho pozornost v letech 1902-12.

Přečtěte si více o tomto tématu

topologie: Historie topologie

…topologické vlastnosti nekonečně rozměrného Hilbertova prostoru. Tyto snahy předznamenaly novou oblast topologie, která je nyní…

Body Hilbertova prostoru jsou nekonečné posloupnosti (x1, x2, x3, …) reálných čísel, které jsou kvadraticky sčítatelné, tj. pro které nekonečná řada x12 + x22 + x32 + … konverguje k nějakému konečnému číslu. V přímé analogii s n-rozměrným euklidovským prostorem je Hilbertův prostor vektorový prostor, který má přirozený vnitřní součin neboli tečkový součin, poskytující funkci vzdálenosti. Pod touto funkcí vzdálenosti se stává úplným metrickým prostorem, a je tedy příkladem toho, čemu matematici říkají úplný prostor vnitřního součinu.

Brzy po Hilbertově zkoumání rakousko-německý matematik Ernst Fischer a maďarský matematik Frigyes Riesz dokázali, že čtvercové integrovatelné funkce (funkce takové, že integrace kvadrátu jejich absolutní hodnoty je konečná) lze také považovat za „body“ v úplném prostoru vnitřního součinu, který je ekvivalentní Hilbertovu prostoru. V této souvislosti sehrál Hilbertův prostor roli při rozvoji kvantové mechaniky a nadále je důležitým matematickým nástrojem v aplikované matematice a matematické fyzice.

V analýze objev Hilbertova prostoru předznamenal funkcionální analýzu, nový obor, v němž matematici studují vlastnosti zcela obecných lineárních prostorů. Mezi tyto prostory patří úplné prostory vnitřního součinu, které se nyní nazývají Hilbertovy prostory, což je označení, které poprvé použil v roce 1929 maďarsko-americký matematik John von Neumann k abstraktnímu axiomatickému popisu těchto prostorů. Hilbertovy prostory se také staly zdrojem bohatých myšlenek v topologii. Jako metrický prostor lze Hilbertův prostor považovat za nekonečně rozměrný lineární topologický prostor a důležité otázky související s jeho topologickými vlastnostmi byly nastoleny v první polovině 20. století. Původně motivováni těmito vlastnostmi Hilbertových prostorů založili vědci v 60. a 70. letech 20. století nový podobor topologie nazvaný nekonečně rozměrná topologie.