Gyroid

Gyroid je jedinečný netriviální vložený člen asociované rodiny Schwarzových P a D ploch. Jeho asociační úhel vzhledem k ploše D je přibližně 38,01°. Gyroid je podobný lidinoidu. Gyroid objevil v roce 1970 vědec NASA Alan Schoen. Vypočítal úhel asociace a podal přesvědčivou demonstraci na obrázcích složitých plastických modelů, ale nepodal důkaz o zakotvenosti. Schoen poznamenal, že gyroid neobsahuje ani přímky, ani rovinné symetrie. Karcher v roce 1989 podal jiné, modernější zpracování povrchu pomocí konstrukce konjugovaného povrchu. V roce 1996 Große-Brauckmann a Wohlgemuth dokázali, že je zapuštěný, a v roce 1997 Große-Brauckmann poskytl CMC varianty gyroidu a provedl další numerická šetření o objemových podílech minimálního a CMC (konstantní střední křivost) gyroidu.

Gyroid rozděluje prostor na dva protilehlé kongruentní labyrinty chodeb. Gyroid má prostorovou skupinu I4132 (č. 214). Kanály probíhají gyroidními labyrinty ve směrech (100) a (111); chodby se při průchodu kterýmkoli kanálem vynořují pod úhlem 70,5 stupně, přičemž směr, kterým se tak děje, je gyroidní, což dalo vzniknout názvu „gyroid“. Jedním ze způsobů, jak si povrch představit, je představit si „čtvercové katenoidy“ povrchu P (tvořené dvěma čtverci v rovnoběžných rovinách, s téměř kruhovým pasem); otáčením kolem hran čtverce vzniká povrch P. V tomto případě se jedná o „čtvercové katenoidy“. V asociované rodině se tyto čtvercové katenoidy „otevírají“ (podobně jako se katenoid „otevírá“ do helikoidu) a vytvářejí rotující stuhy, z nichž se nakonec stává Schwarzův povrch D. Pro jednu hodnotu parametru asociované rodiny leží gyrující stuhy přesně v místech, která jsou nutná pro vznik vloženého povrchu.

Gyroid je jediným známým vloženým trojnásobně periodickým minimálním povrchem, který na rozdíl od pěti minimálních povrchů studovaných Andersonem a spol. v roce 1990 disponuje trojitými spoji a nemá žádné linie reflexní symetrie.

Gyroid označuje člen, který je v asociované rodině Schwarzovy P plochy, ale ve skutečnosti gyroid existuje v několika rodinách, které zachovávají různé symetrie plochy; úplnější diskuse rodin těchto minimálních ploch se objevuje v trojnásobně periodických minimálních plochách.

Zajímavé je, že stejně jako některé jiné trojnásobně periodické minimální plochy lze gyroidní plochu trigonometricky aproximovat krátkou rovnicí:

sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0 {\displaystyle \sin x\cos y+\sin y\cos z+\sin z\cos x=0}