Gaussův povrch

Příklady platných (vlevo) a neplatných (vpravo) Gaussových ploch. Vlevo: Mezi některé platné Gaussovy plochy patří povrch koule, povrch torusu a povrch krychle. Jsou to uzavřené plochy, které zcela uzavírají 3D objem. Vpravo: Některé povrchy, které NELZE použít jako Gaussovy povrchy, například povrch disku, povrch čtverce nebo povrch polokoule. Tyto plochy zcela neuzavírají 3D objem a mají hranice (červeně). Všimněte si, že nekonečné roviny mohou aproximovat Gaussovy plochy.

Většina výpočtů využívajících Gaussovy plochy začíná implementací Gaussova zákona (pro elektřinu):

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

S {\displaystyle \scriptstyle S\!}

E ⋅ d A = Q enc ε 0 . {\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.\,\!}

Tedy Qenc je elektrický náboj uzavřený Gaussovou plochou.

Jedná se o Gaussův zákon, který v sobě spojuje větu o divergenci i Coulombův zákon.

Sférická plochaEdit

Sférická Gaussova plocha se používá při zjišťování elektrického pole nebo toku, který vzniká některým z následujících jevů:

• bodový náboj
• rovnoměrně rozložený kulový obal náboje
• jakékoli jiné rozložení náboje s kulovou symetrií

Kulový Gaussův povrch se volí tak, aby byl soustředný s rozložením náboje.

Jako příklad uvažujme nabitou kulovou slupku S zanedbatelné tloušťky s rovnoměrně rozloženým nábojem Q a poloměrem R. Pomocí Gaussova zákona můžeme najít velikost výsledného elektrického pole E ve vzdálenosti r od středu nabité slupky. Je okamžitě zřejmé, že pro kulovou Gaussovu plochu o poloměru r < R je uzavřený náboj nulový: proto je čistý tok nulový a velikost elektrického pole na Gaussově ploše je také nulová (necháme-li v Gaussově zákoně QA = 0, kde QA je náboj uzavřený Gaussovou plochou).

Při stejném příkladu, kdy použijeme větší Gaussovu plochu mimo slupku, kde r > R, Gaussův zákon vytvoří nenulové elektrické pole. To určíme následovně.

Tok ven ze sférické plochy S je:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

∂ S {\displaystyle \scriptstyle \partial S\,\!}

E ⋅ d A = ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ S d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\int \!\!\!\!\int _{S}dA\,\!}

Povrch koule o poloměru r je

∫ ∫ S d A = 4 π r 2 {\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{S}dA=4\pi r^{2}}.

což znamená

Φ E = E 4 π r 2 {\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}.

Podle Gaussova zákona je tok také

Φ E = Q A ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}

konečně vyrovnáním výrazu pro ΦE získáme velikost pole E v poloze r:

E 4 π r 2 = Q A ε 0 ⇒ E = Q A 4 π ε 0 r 2 . {\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}\kvadrát \pravá šipka \kvadrát E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.}

Tento netriviální výsledek ukazuje, že jakékoli sférické rozložení náboje se při pozorování z vnější strany rozložení náboje chová jako bodový náboj; jde vlastně o ověření Coulombova zákona. A jak již bylo řečeno, žádné vnější náboje se nepočítají.

Válcová plochaEdit

Válcová Gaussova plocha se používá při zjišťování elektrického pole nebo toku vyvolaného některým z následujících jevů:

• nekonečně dlouhá čára stejnoměrného náboje
• nekonečně dlouhá rovina stejnoměrného náboje
• nekonečně dlouhý válec stejnoměrného náboje

Níže je uveden příklad „pole v blízkosti nekonečného čárového náboje“;

Uvažujme bod P ve vzdálenosti r od nekonečného čárového náboje o hustotě náboje (náboj na jednotku délky) λ. Představte si uzavřenou plochu ve tvaru válce, jehož osou otáčení je lineární náboj. Je-li h délka válce, pak náboj uzavřený ve válci je

q = λ h {\displaystyle q=\lambda h}

,

kde q je náboj uzavřený v Gaussově ploše. Na obrázku jsou znázorněny tři plochy a, b a c. Diferenciální plocha vektoru je dA, na každé ploše a, b a c.

uzavřená plocha ve tvaru válce, která má ve středu čárový náboj a zobrazuje diferenciální plochy dAvšech tří ploch.

Průchod toku se skládá ze tří příspěvků:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

A {\displaystyle \scriptstyle A\,\!}

E ⋅ d A = ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ ∫ b E ⋅ d A + ∫ ∫ c E ⋅ d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\int _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\int _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\int _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }

Pro plochy a a b budou E a dA kolmé.Pro plochu c budou E a dA rovnoběžné, jak ukazuje obrázek.

Φ E = ∫ ∫ a E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ b E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ c d A {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\int \!\!\!\!\int _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\!\int _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\&=E\int \!\!\!\!\int _{c}dA\\\{end{aligned}}}.

Povrch válce je

∫ ∫ c d A = 2 π r h {\displaystyle \int \!\!\!\!\!\int _{c}dA=2\pi rh}

což znamená

Φ E = E 2 π r h {\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}

Podle Gaussova zákona

Φ E = q ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}

vyrovnáním pro ΦE získáme

E 2 π r h = λ h ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε 0 r {\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\kvadrát \Pravá šipka \kvadrát E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}}.

Gaussův pillboxEdit

Tento povrch se nejčastěji používá k určení elektrického pole způsobeného nekonečnou vrstvou náboje s rovnoměrnou hustotou náboje nebo deskou náboje o určité konečné tloušťce. Pilířová krabice má tvar válce a lze si ji představit jako složenou ze tří složek: disku na jednom konci válce s plochou πR², disku na druhém konci se stejnou plochou a strany válce. Součet elektrických toků procházejících jednotlivými složkami povrchu je úměrný uzavřenému náboji pilíře, jak vyplývá z Gaussova zákona. Protože pole v blízkosti listu lze aproximovat jako konstantní, je pilířová krabička orientována tak, aby siločáry pronikaly kotouči na koncích pole pod kolmým úhlem a strany válce byly rovnoběžné se siločárami.

.