Gauge symmetry (mathematics)

V matematice každý Lagrangeův systém obecně připouští měřítkové symetrie, i když se může stát, že jsou triviální. V teoretické fyzice je pojem měřítkových symetrií závislých na parametrických funkcích základním kamenem současné teorie pole.

Měřítková symetrie lagrangiánu L {\displayystyle L} je definována jako diferenciální operátor na nějakém vektorovém svazku E {\displaystyle E} , který nabývá hodnot v lineárním prostoru (variačních nebo přesných) symetrií L {\displaystyle L} . Proto je měřítková symetrie L {\displaystyle L} závisí na řezech E {\displaystyle E}. a jejich parciálních derivací. To je například případ měřítkových symetrií v klasické teorii pole. Yangova-Millsova gauge teorie a gauge teorie gravitace jsou příkladem klasických teorií pole s gauge symetriemi.

Gauge symetrie mají následující dvě zvláštnosti.

1. Jako Lagrangiánové symetrie splňují gauge symetrie Lagrangiánu první Noetherovu větu, ale odpovídající konzervovaný proud J μ {\displaystyle J^{\mu }}. nabývá konkrétního superpotenciálního tvaru J μ = W μ + d ν U ν μ {\displaystyle J^{\mu }=W^{\mu }+d_{\nu }U^{\nu \mu }} kde první člen W μ {\displaystyle W^{\mu }} mizí na řešeních Eulerových-Lagrangeových rovnic a druhý je okrajový člen, kde U ν μ {\displaystyle U^{\nu \mu }} se nazývá superpotenciál.
2. V souladu s druhou Noetherovou větou existuje korespondence jedna ku jedné mezi měřítkovými symetriemi Lagrangiánu a Noetherovými identitami, které Eulerův-Lagrangeův operátor splňuje. V důsledku toho charakterizují měřítkové symetrie degenerovanost Lagrangeova systému.

Všimněte si, že v kvantové teorii pole generující funkcionál není invariantní při transformaci na šířku a šířkové symetrie jsou nahrazeny symetriemi BRST, které závisí na duchách a působí jak na pole, tak na duchy.

.