Galoisova teorie

PředhistorieUpravit

Galoisova teorie vznikla při studiu symetrických funkcí – koeficienty monického polynomu jsou (až na znaménko) elementární symetrické polynomy v kořenech. Například (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, kde 1, a + b a ab jsou elementární polynomy stupně 0, 1 a 2 ve dvou proměnných.

Tuto teorii poprvé formalizoval francouzský matematik 16. století François Viète ve Viètových formulích pro případ kladných reálných kořenů. Podle názoru britského matematika 18. století Charlese Huttona vyjádření koeficientů polynomu v termínech kořenů (nejen pro kladné kořeny) poprvé pochopil francouzský matematik 17. století Albert Girard; Hutton píše:

… první, kdo pochopil obecnou nauku o tvorbě koeficientů mocnin ze součtu kořenů a jejich součinů. Byl první, kdo objevil pravidla pro sčítání mocnin kořenů libovolné rovnice.

V tomto duchu je diskriminant symetrická funkce v kořenech, která odráží vlastnosti kořenů – je nulový tehdy a jen tehdy, má-li mnohočlen násobný kořen, a pro kvadratické a kubické mnohočleny je kladný tehdy a jen tehdy, jsou-li všechny kořeny reálné a různé, a záporný tehdy a jen tehdy, existuje-li dvojice různých komplexně konjugovaných kořenů. Podrobnosti viz Diskriminace:Povaha kořenů.

Kubickou rovnici poprvé částečně vyřešil italský matematik 15.-16. století Scipione del Ferro, který však své výsledky nepublikoval; tato metoda však řešila pouze jeden typ kubické rovnice. Toto řešení pak v roce 1535 znovu nezávisle objevil Niccolò Fontana Tartaglia, který se o něj podělil s Gerolamem Cardanem a požádal ho, aby ho nepublikoval. Cardano jej pak s použitím podobných argumentů rozšířil na řadu dalších případů; více podrobností najdete na stránce Cardanova metoda. Po objevení del Ferrovy práce se domníval, že Tartagliova metoda již není tajná, a proto své řešení zveřejnil ve své Ars Magna z roku 1545. Jeho žák Lodovico Ferrari vyřešil kvartový polynom; jeho řešení bylo rovněž zahrnuto do Ars Magna. V této knize však Cardano neuvedl „obecný vzorec“ pro řešení kubické rovnice, protože neměl k dispozici ani komplexní čísla, ani algebraický zápis, aby mohl obecnou kubickou rovnici popsat. S výhodou moderního zápisu a komplexních čísel vzorce v této knize v obecném případě fungují, ale Cardano to nevěděl. Teprve Rafael Bombelli dokázal pochopit, jak pracovat s komplexními čísly, aby bylo možné řešit všechny formy kubické rovnice.

Dalším krokem byl článek Réflexions sur la résolution algébrique des équations francouzsko-italského matematika Josepha Louise Lagrange z roku 1770, v němž ve své metodě Lagrangeových resolventů analyzoval Cardanovo a Ferrariho řešení kubických a kvartikálních rovnic tím, že je uvažoval v termínech permutací kořenů, čímž získal pomocný polynom nižšího stupně, čímž poskytl jednotné chápání řešení a položil základy teorie grup a Galoisovy teorie. Zásadní však je, že neuvažoval o složení permutací. Lagrangeova metoda se nevztahovala na kvintové a vyšší rovnice, protože resolvent měl vyšší stupeň.

Téměř dokázal, že kvintová rovnice nemá obecné řešení pomocí radikálů, Paolo Ruffini v roce 1799, jehož klíčovým poznatkem bylo použití permutačních grup, nikoliv pouze jedné permutace. Jeho řešení obsahovalo mezeru, kterou Cauchy považoval za nepodstatnou, ačkoli ji zalepila až práce norského matematika Nielse Henrika Abela, který v roce 1824 publikoval důkaz, čímž vznikla Abelova-Ruffiniho věta.

Ačkoli Ruffini a Abel stanovili, že obecný kvintil nelze řešit, některé konkrétní kvintily řešit lze, například x5 – 1 = 0, a přesné kritérium, podle kterého lze určit, zda je daný kvintil nebo vyšší polynom řešitelný či nikoli, uvedl Évariste Galois, který ukázal, že to, zda je polynom řešitelný či nikoli, je ekvivalentní tomu, zda permutační grupa jeho kořenů – moderně řečeno Galoisova grupa – má či nemá určitou strukturu – moderně řečeno, zda je či není řešitelnou grupou. Tato grupa byla vždy řešitelná pro polynomy stupně čtyři a méně, ale ne vždy pro polynomy stupně pět a více, což vysvětluje, proč neexistuje obecné řešení ve vyšších stupních.

Galoisovy spisyEdit

Portrét Évarista Galoise ve věku asi 15 let

V roce 1830 předložil Galois (ve věku 18 let) Pařížské akademii věd paměti o své teorii řešitelnosti radikály; Galoisův příspěvek byl nakonec v roce 1831 odmítnut jako příliš útržkovitý a pro uvedení podmínky v podobě kořenů rovnice místo jejích koeficientů. Galois pak v roce 1832 zemřel v souboji a jeho práce „Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux“ zůstala nepublikována až do roku 1846, kdy ji publikoval Joseph Liouville spolu s některými vlastními vysvětleními. Před tímto zveřejněním oznámil Liouville Galoisův výsledek Akademii v projevu, který pronesl 4. července 1843. Podle Allana Clarka Galoisova charakteristika „dramaticky překonává práci Abela a Ruffiniho“.

NásledekUpravit

Galoisova teorie byla pro jeho současníky notoricky obtížně pochopitelná, zejména do té míry, aby ji mohli rozvinout. Například Liouville ve svém komentáři z roku 1846 zcela pominul grupo-teoretické jádro Galoisovy metody. Joseph Alfred Serret, který se zúčastnil některých Liouvillových přednášek, zahrnul Galoisovu teorii do své učebnice Cours d’algèbre supérieure z roku 1866 (třetí vydání). Serretův žák Camille Jordan ji ještě lépe pochopil ve své knize Traité des substitutions et des équations algébriques z roku 1870. Mimo Francii zůstávala Galoisova teorie po delší dobu obskurnější. Ve Velké Británii Cayley nedokázal pochopit její hloubku a populární britské učebnice algebry se o Galoisově teorii nezmiňovaly ani dlouho po přelomu století. V Německu se Kroneckerovy práce zaměřovaly spíše na Abelův výsledek. Dedekind o Galoisově teorii psal jen málo, ale v roce 1858 o ní přednášel v Göttingenu a prokázal velmi dobré porozumění. Knihy Eugena Netta z 80. let 19. století, založené na Jordanově Traité, zpřístupnily Galoisovu teorii širšímu německému a americkému publiku, stejně jako učebnice algebry Heinricha Martina Webera z roku 1895.

.