Diferenciální geometrie
Diferenciální geometrie, obor matematiky, který se zabývá geometrií křivek, ploch a mnohotvarů (vyšších dimenzionálních analogií ploch). Obor vděčí za svůj název použití myšlenek a technik z diferenciálního počtu, ačkoli moderní předmět často místo toho používá algebraické a čistě geometrické techniky. Ačkoli se základní definice, notace a analytické popisy značně liší, převažují následující geometrické otázky: Jak se měří zakřivení křivky v rámci povrchu (vnitřní) a v rámci okolního prostoru (vnější)? Jak lze měřit zakřivení povrchu? Jaká je nejkratší cesta uvnitř povrchu mezi dvěma body na povrchu? Jak souvisí nejkratší cesta na povrchu s pojmem přímka?“
Křivky se sice studovaly už od starověku, ale objev kalkulu v 17. století otevřel studium složitějších rovinných křivek – například těch, které vytvořil francouzský matematik René Descartes (1596-1650) pomocí svého „kompasu“ (viz Historie geometrie: Karteziánská geometrie). Zejména integrální počet vedl k obecnému řešení starých problémů hledání délky oblouku rovinných křivek a plochy rovinných obrazců. To zase otevřelo cestu ke zkoumání křivek a ploch v prostoru – zkoumání, které bylo počátkem diferenciální geometrie.
Některé ze základních myšlenek diferenciální geometrie lze ilustrovat na pásu, spirálovitém pásu, který často navrhují inženýři, aby poskytl konstrukční podporu velkým kovovým válcům, jako jsou komíny. Strake lze vytvořit vyříznutím prstencového pásu (oblast mezi dvěma soustřednými kružnicemi) z plochého ocelového plechu a jeho následným ohnutím do šroubovice, která se spirálovitě stáčí kolem válce, jak je znázorněno na obrázku. Jaký by měl být poloměr r prstence, aby se dosáhlo nejlepšího uložení? Diferenciální geometrie poskytuje řešení tohoto problému definováním přesného měření zakřivení křivky; pak lze r upravovat tak dlouho, dokud zakřivení vnitřního okraje prstence nebude odpovídat zakřivení šroubovice.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Zůstává důležitá otázka: Lze prstencovou pásku ohnout, aniž by se protáhla, tak, aby tvořila pás kolem válce? Znamená to zejména, že vzdálenosti měřené podél povrchu (vlastní) se nemění. O dvou plochách se říká, že jsou izometrické, pokud lze jednu ohnout (nebo transformovat) do druhé, aniž by se změnily vnitřní vzdálenosti. (Protože například list papíru lze srolovat do trubice, aniž by se roztáhl, jsou list i trubka „lokálně“ izometrické – pouze lokálně, protože spojením obou okrajů papíru vzniknou nové, případně kratší cesty). Druhá otázka tedy zní: Jsou prstenec a pás izometrické? K zodpovězení této a podobných otázek vyvinula diferenciální geometrie pojem křivosti povrchu.
Leave a Reply