Barycentrické souřadnice

Na konci diskuse o Cévově větě jsme dospěli k závěru, že pro libovolný bod K uvnitř ΔABC existují tři tělesa wA, wB a wC taková, že pokud jsou umístěna v příslušných vrcholech trojúhelníku, jejich těžiště (barycentrum) se shoduje s bodem K. August Ferdinand Moebius (1790-1868) definoval (1827) wA, wB a wC jako barycentrické souřadnice bodu K. (Je možné to zobecnit a uvažovat i záporné hmotnosti pro body mimo trojúhelník. Pro mé účely to však není nutné). Tak, jak jsou definovány, nejsou barycentrické souřadnice jednoznačné. Hmotnosti kwA, kwB a kwC mají přesně stejný barycentr pro libovolné k > 0. Barycentrické souřadnice jsou tedy formou obecných homogenních souřadnic, které se používají v mnoha odvětvích matematiky (a dokonce i v počítačové grafice). S jednou dodatečnou podmínkou

jsou barycentrické souřadnice definovány jednoznačně pro každý bod uvnitř trojúhelníku. (Barycentrické souřadnice, které splňují (*), se nazývají areálové souřadnice, protože za předpokladu, že plocha ΔABC je 1, jsou váhy w rovny plochám trojúhelníků KBC, KAC a KAB). Protože těžiště libovolných dvou bodů leží na spojnici, je wA = 0 pro body na BC, wB = 0 pro body na AC a wC = 0 na AB. Vrcholy A,B,C mají souřadnice (1,0,0), (0,1,0) a (0,0,1).

Obvyklý způsob, jak určit barycentrum tří bodů s danými hmotnostmi (říkejme takovým bodům hmotné), je nejprve umístit součet hmotností libovolných dvou bodů do jejich barycentra. Nyní zopakujeme stejnou (jednorozměrnou) operaci se spárováním nového a třetího zbývajícího bodu. (Tento argument je formalizován v rámci afinní geometrie. Dávám přednost tomu, aby diskuse byla intuitivní.) Za předpokladu (*), že wA zůstane pevné, bude i součet wB + wC. Z toho pak vyplývá, že pro dvě možné polohy D a D‘ barycentra B a C máme DK/KA = wA/(wB + wC) = D’K’/K’A. KK‘ je tedy rovnoběžná s BC. Jinými slovy, rovnice wA = const popisuje přímky rovnoběžné s BC. Jak jsme již poznamenali, rovnice BC je wA = 0. Podobný vztah existuje mezi wB a AC a wC a AB.

Jsou-li Mb a Mc středy AC, respektive AB, pak rovnice MbMc je wA = 1/2. Podobně MaMc = {(wA, wB, wC): wB = 1/2} a MaMb = {(wA, wB, wC): wC = 1/2}.

Podívejme se na diagram vpravo. V modrém trojúhelníku jsou všechny tři souřadnice menší než 1/2. Proto je první číslice jejich binární reprezentace nula. V červených trojúhelnících jsou dvě souřadnice menší než 1/4, zatímco třetí je mezi 1/2 a 3/4. Proto mají všechny tři souřadnice v červených trojúhelnících druhou binární číslici nula. To vede k postupu odstranění tremy při konstrukci Sierpińského těsnění a poskytuje vodítko k jeho popisu v barycentrických souřadnicích.

Barycentrické souřadnice vznikají přirozeně vždy, když mají proměnné veličiny konstantní součet. Výstižným příkladem je problém tří sklenic, kdy přeléváme vodu z jedné sklenice do druhé za nereálného předpokladu, že se při tom nevylije žádná kapka vody. Problém krásně ilustruje pojem barycentrických souřadnic.

Barycentrum a barycentrické souřadnice

1. 3D čtyřúhelník – problém s rakví
2. Barycentrické souřadnice
3. Barycentrické souřadnice:
4. Barycentrické souřadnice a geometrická pravděpodobnost
   • Tyč rozdělená na tři části (trilineární souřadnice)
   • Tyč rozdělená na tři části (kartézské souřadnice)
5. Cevova věta
6. Determinanty, plocha, a barycentrické souřadnice
7. Maxwellova věta prostřednictvím těžiště
8. Bimediány ve čtyřúhelníku
9. Současné zobecnění Cevovy a Meneláovy věty
   • Cevova a Meneláova věta, ilustrované zobecnění
10. Hádanka o třech sklenicích
11. Van Obelova věta a barycentrické souřadnice
12. 1961 IMO, úloha 4. Cvičení na barycentrické souřadnice
13. Centroidy v mnohoúhelníku
14. Těžiště a pohyb hmotných bodů
15. Izotomická reciprocita
16. Afinita Vlastnost barycentra
17. Problém přímé podobnosti
18. Kruhy v barycentrických souřadnicích
19. Barycentrum cévního trojúhelníku
20. Souběžníky v kružnici, Stejně skloněné

|Kontakty||Přední strana||Obsah||Geometrie|