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Baryzentrische Koordinaten

Am Ende der Diskussion über den Satz von Ceva kamen wir zu dem Schluss, dass es für jeden Punkt K innerhalb von ΔABC drei Massen wA, wB und wC gibt, deren Schwerpunkt (Baryzentrum) mit dem Punkt K zusammenfällt, wenn sie an den entsprechenden Eckpunkten des Dreiecks platziert werden. August Ferdinand Moebius (1790-1868) definierte (1827) wA, wB und wC als die baryzentrischen Koordinaten von K. (Es ist möglich, dies zu verallgemeinern und auch negative Massen für Punkte außerhalb des Dreiecks zu berücksichtigen. Dies ist für meine Zwecke nicht erforderlich.) Wie definiert, sind die baryzentrischen Koordinaten nicht eindeutig. Die Massen kwA, kwB und kwC haben für jedes k > 0 genau dasselbe Baryzentrum. Baryzentrische Koordinaten sind also eine Form allgemeiner homogener Koordinaten, die in vielen Bereichen der Mathematik (und sogar der Computergrafik) verwendet werden. Mit einer zusätzlichen Bedingung

(*) wA + wB + wC = 1

sind die baryzentrischen Koordinaten für jeden Punkt im Dreieck eindeutig definiert. (Baryzentrische Koordinaten, die (*) erfüllen, werden als Flächenkoordinaten bezeichnet, weil, wenn man annimmt, dass der Flächeninhalt von ΔABC gleich 1 ist, die Gewichte w gleich den Flächeninhalten der Dreiecke KBC, KAC und KAB sind.) Da der Schwerpunkt zweier beliebiger Punkte auf dem Verbindungssegment liegt, ist wA = 0 für Punkte auf BC, wB = 0 für Punkte auf AC und wC = 0 auf AB. Die Scheitelpunkte A,B,C haben die Koordinaten (1,0,0), (0,1,0) bzw. (0,0,1).

Der übliche Weg, den Schwerpunkt von drei Punkten mit gegebenen Massen (nennen wir solche Punkte Material) zu bestimmen, besteht darin, zunächst die Summe der Massen zweier beliebiger Punkte in deren Schwerpunkt zu legen. Dann wiederholt man die gleiche (eindimensionale) Operation mit dem neuen und dem dritten verbleibenden Punkt. (Das Argument ist in der affinen Geometrie formalisiert. Ich ziehe es vor, die Diskussion intuitiv zu halten.) Unter der Annahme (*), dass wA fest bleibt, gilt dies auch für die Summe wB + wC. Daraus folgt, dass für zwei mögliche Positionen D und D‘ des Baryzentrums von B und C DK/KA = wA/(wB + wC) = D’K’/K’A. Daher ist KK‘ parallel zu BC. Mit anderen Worten: Die Gleichung wA = const beschreibt die zu BC parallelen Linien. Wie wir bereits festgestellt haben, ist die Gleichung von BC wA = 0. Eine ähnliche Beziehung besteht zwischen wB und AC und wC und AB.

Wenn Mb und Mc die Mittelpunkte von AC bzw. AB sind, dann ist die Gleichung von MbMc wA = 1/2. Analog dazu ist MaMc = {(wA, wB, wC): wB = 1/2} und MaMb = {(wA, wB, wC): wC = 1/2}.

Betrachten wir das Diagramm rechts. Im blauen Dreieck sind alle drei Koordinaten kleiner als 1/2. Daher ist die erste Ziffer ihrer binären Darstellung Null. In den roten Dreiecken sind zwei Koordinaten kleiner als 1/4, während die dritte zwischen 1/2 und 3/4 liegt. Daher ist bei den roten Dreiecken die zweite Binärziffer aller drei Koordinaten Null. Dies führt zum Trema-Entfernungsverfahren für die Konstruktion der Sierpinski-Dichtung und liefert einen Hinweis auf ihre Beschreibung in den baryzentrischen Koordinaten.

Baryzentrische Koordinaten entstehen natürlich immer dann, wenn variable Größen eine konstante Summe haben. Das Drei-Glas-Problem, bei dem wir Wasser von einem Glas in ein anderes gießen, unter der unrealistischen Annahme, dass dabei kein Tropfen Wasser verschüttet wird, ist ein hervorragendes Beispiel. Das Problem veranschaulicht sehr schön das Konzept der baryzentrischen Koordinaten.

Baryzentrum und baryzentrische Koordinaten

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